Nous nous focalisons sur le problème d'eau salée dans les aquifères costaux. La dérivation du modèle est basée sur le couplage de la loi de Darcy et du principe de conservation de la masse écrit pour le domaine de l'eau douce et pour celui de l'eau salée. Le modèle final obtenu grâce à l'approche mixte entre interface diffuse et interface abrupte a l’avantage de respecter la physique du problème tout en conservant l’efficacité numérique. Je vous parlerai de la modélisation du problème, des résultats théoriques obtenus et des simulations numériques sur la comparaison du modèle 2D&3D.

L’objet de cet exposé est le type d’homotopie réel des espaces de configuration de variétés compactes simplement connexes, avec ou sans bord. Sous certaines conditions, nous donnons un modèle réel explicite de ces espaces de configuration et qui ne dépend que du type d’homotopie réel de la variété donnée. De plus, nous étudions l’action des opérades des petits disques sur les espaces de configuration, et nous démontrons que le modèle est compatible avec cet action. Dans le cas des variétés à bord, nous démontrons aussi que le modèle est compatible avec l’action des opérades Swiss-Cheese.

Je présenterai quelques résultat sur les diagrammes de nœuds et d'entrelacs obtenus comme intersection d'une courbe algébrique avec une sphère de rayon quelconque.

Soit C une courbe algébrique lisse, on considère l'entrelacs L(r) obtenu comme l'intersection de C avec le bord de B(r), où B(r) est la boule euclidienne de rayon r>0. De nombreux résultats sont connus lorsque r est suffisamment petit ou suffisamment grand. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de r ? Nous étudions le cas intermédiaire via une projection de l'entrelacs et des propriétés de positivité de la tresse associée.

C'est un travail en commun avec Maciej Borodzik.

Si P1,...,Pn, Q1,...,Qn sont des polytopes convexes à sommets dans le réseau Z^n des points entiers de R^n tels que Pi soit inclus dans Qi pour tout i=1,...,n, alors le volume mixte de (P1,...,Pn) est majoré par celui de (Q1,...,Qn). Dans un travail récent avec Ivan Soprunov (Cleveland University), nous caractérisons les paires de n-uplets de polytopes pour lesquelles cette inégalité est stricte. Le lien fondamental entre volume mixte et systèmes polynomiaux est le théorème de Bernstein-Kouchnirenko qui prédit que le nombre de solutions d'un système polynomial de polytopes de Newton P1,...,Pn est génériquement égal au volume mixte de ces polytopes. On utilise notre critère pour obtenir une notion de règle de Cramer pour les systèmes polynomiaux, qui généralise celle connue dans le cas linéaire.

En géométrie algébrique complexe, le théorème de Lefschetz (1,1) classifie les classes de cohomologie d'une variété complexe projective qui sont les classes de Chern des fibrés en droites. Je présenterai un analogue de ce théorème pour les espaces polyédraux en utilisant les concepts de la géométrie tropicale. Les classes de cohomologie tropicale qui proviennent des fibrés en droites tropicaux sont précisément les classes dans le noyau d'une application introduite par Mikhalkin et Zharkov. Pour une variété tropicale lisse de dimension n, nous nous servons d'une dualité de Poincaré pour décrire les cycles en homologie tropicale de degré (n-1, n-1) qui proviennent des cycles tropicaux. Ces cycles tropicaux sont des candidats de tropicalisation de cycles algébriques. Je présenterai des exemples et corollaires de ces énoncés.

Ceci est du travail en commun avec Philipp Jell et Johannes Rau

Dans cet exposé nous donnerons une description de la chirurgie lagrangienne par l'intermédiaire des relevés legendriens des lagrangiennes concernées. Nous utiliserons ensuite le complexe de Floer des cobordismes associés à cette chirurgie pour relier l'homologie de Floer de la chirurgie à celle des lagrangiennes de départ. Ces considérations permettent de donner une description géométrique de ce certains cônes dans la catégorie de Fukaya. Travail joint avec G. Dimitroglou-Rizell, P. Ghiggini et R. Golovko.