Cet exposé introduit au problème inverse dit de Calderon et spécifiquement à sa problématique d'unicité. On présentera brièvement son historique et ses enjeux pour ensuite donner les grandes étapes de la preuve d'unicité établie par Uhlmann et Sylvester dans le cas isotrope. Nous terminerons par quelques perspectives actuelles pour le cas non isotrope.

Soit Ω un guide d'ondes cylindrique infini correspondant à un ouvert de R^3 de la forme Ω := ω x R, où ω est un ouvert borné de R^2. Dans cet exposé, nous considérons le problème inverse consistant à déterminer de façon unique un potentiel q apparaissant dans l'équation de Schrödinger stationnaire -Δu+qu=0 sur Ω à partir d'observations des solutions sur des parties du bord ∂Ω. On présentera aussi différentes applications de ce problème comme: La détermination d'une conductivité a apparaissant dans l'équation -div(a∇u)=0 sur Ω; La détermination d'une classe importante de potentiels q à partir d'observations restreintes à une partie bornée de ∂Ω; La détermination de potentiels à support cylindrique apparaissant dans un guide d'ondes de type plaque délimité par deux hyperplans.

L’analyse des petites valeurs propres du Laplacien de Witten intervient de manière cruciale dans la description de dynamiques métastables. Dans cet exposé, on rappelera l’approche de Helffer-Klein-Nier, Hérau-Hitrik-Sjöstrand pour traiter ce problème, puis on donnera quelques généralisations à des situations dégénérées.

On montre de nouveaux résultats de rigidité du bord pour des metriques sans points conjugués avec bords non-convexes: le but est d’identifier une métrique à partir de données au bord, comme la fonction distance restreinte au bord ou l’application de scattering pour le flot géodésique. On utilise des outils d’analyse microlocale pour étudier les transformations rayons-X géodesiques. C'est un travail en commun avec M. Mazzucchelli et L. Tzou.

Résumé : Certaines questions d'analyse harmonique motivent également les\break edp-istes: les uns travaillent dans R^n, les autres prennent le risque de la non-commutativité en se plongeant dans des groupes exotiques dont la "star" est sans conteste le groupe d'Heisenberg. Notre objectif dans cet interlude * microlocal sera de s'appuyer sur un de ces sujets communs pour se familiariser avec l'approche microlocale et comprendre comment celle-ci peut être mise en oeuvre dans des contextes variés.

*Un interlude est une petite pièce instrumentale jouée entre deux morceaux plus considérables.

L'étude des mélanges de carte d'un point de vue mathématiques a entre autre été entrepris par le sympathique personnage de Perci Diaconis. Nous verrons dans cet exposé quelques-uns des outils mis en place par Diaconis et ses collaborateurs pour répondre à cette épineuse question du nombre de mélanges nécessaires afin de "randomiser" au mieux un jeu de carte.

Étant donnée une mesure de probabilité sur un groupe de type fini, on définit le bord de Martin de la marche aléatoire associée à l'aide de la fonction de Green. On obtient une compactification qui tient compte du comportement probabiliste de la marche et de la géométrie du groupe. On identifie le bord de Martin d'une marche à support fini sur un groupe Kleinéen : on montre qu'il coïncide avec le bord CAT(0) du groupe.