On relie les courbures de Lipschitz-Killing d’un ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J. Math, 1982).

On donne ensuite des versions infinitésimales de ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les invariants polaires de Comte et Merle et les densités des images polaires génériques.

Les invariants de Welschinger sont les analogues réels des invariant de Gromov-Witten en genre 0, et fournissent des bornes inférieures non triviales en géométrie énumérative réelle. Leur calcul et étude dans le cas des surfaces algébriques rationnelles réelles est toujours un problème d'actualité. Toutes ces surfaces, à déformation près, sont obtenues à partir de CP^2 et CP^1*CP^1 à l'aide de seulement deux opérations: éclatement et chirurgie le long d'une sphère lagrangienne réelle. Ainsi, comprendre le comportement des invariants de Welschinger par ces deux opérations permettrait de ramener l'étude d'une surface rationnelle réelle quelconque à celle de deux surfaces déjà bien étudiées. J'expliquerai dans cet exposé comment traiter le cas d'une chirurgie le long d'une sphère lagrangienne réelle. Allié à des calculs antérieurs, ce travail permet en particulier le calcul des invariants de Welschinger de toutes les surfaces de del Pezzo réelles. Je rappellerai les définitions nécessaires à la compréhension des paragraphes précédents.

Autrement dit, comment plonger isométriquement une sphère unité dans une boule de rayon arbitrairement petite ? Ceci est impossible en classe C^2 car la courbure de Gauss fournit une obstruction. En revanche, un tel plongement existe en classe C^1. Ce résultat contre-intuitif date des années 50, il est dû à Nash et Kuiper. Nous expliquerons comment, avec la technique de l'intégration convexe de Gromov, on peut construire un tel plongement. Nous en présenterons des images.

Dans cet exposé nous présenterons une classe de processus ponctuels spatiaux sur R^d utilisés pour modéliser des données au caractère répulsif, appelés processus ponctuels déterminantaux (ou DPP). Nous nous intéresserons en particulier à la propriété de dépendance négative des DPPs. Peu exploitée dans la littérature des processus ponctuels, nous montrerons en quoi elle implique des propriétés de alpha-mélange ainsi qu'un TCL pour une grande classe de fonctionnelles de DPPs éventuellement non-stationnaires, plus fort que les TCLs usuels des processus ponctuels alpha-mélangeants.

Étant données une fonction lisse à valeurs réelles et une métrique riemannienne sur une variété compacte sans bords, on peut définir un champ de gradient mais aussi une famille d'opérateurs elliptiques nommés laplaciens de Witten. Sous des hypothèses de type Morse-Smale, j'expliquerai pourquoi le spectre de Witten converge vers le spectre du champ de gradient agissant sur des espaces de Sobolev anisotropes. Ce spectre limite est connu sous le nom de spectre de Pollicott-Ruelle et il apparait naturellement dans l'étude de la limite en temps long des systèmes dynamiques hyperboliques. Si le temps le permet, j'expliquerai aussi quelles conséquences tirer de ces résultats pour l'étude de problèmes de topologie différentielle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nguyen Viet Dang (Lyon)

Nous présentons des méthodes permettant d’inférer un graphe à partir de signaux, afin de modéliser le support des données à classifier. Ensuite, des translations préservant les voisinages des sommets sont identifiées sur le graphe inféré. Enfin, ces translations sont utilisées pour déplacer un noyau convolutif sur le graphe, afin de définir un réseau de neurones convolutif adapté aux données d’entrée.

Adaptive methods are well suited for approximating solutions with local singularities. Though adaptivity exploits sparsity features in pre-specified dictionaries and the resulting solutions are optimal in a sense, the "classic" adaptive approaches still scale exponentially with the dimension. Recent developments in the field of structured tensor formats and applications to high-dimensional equations suggest that certain problems can be well approximated over sparse tensor manifolds, potentially reducing the complexity in the dimension to (almost) linear.

In this talk I will introduce general notions of adaptive/non-linear approximation, specifically properties of wavelet bases and why they are well suited for adaptivity. I will discuss the basic ideas of using structured tensor formats to remedy the "curse of dimensionality". Finally, I will present some recent developments in adaptive high-dimensional approximation.

Dans cet exposé basé sur une série de travaux avec C. Donadello et U. Razafison (Besançon) et M.D. Rosini (Lublin, Pologne), on s'intéressera aux nouveaux modèles de trafic routier et piétonnier qui permettent de réproduire les différentes facettes du phénomène de "Capacity Drop" ("Faster Is Slower", le paradoxe de Braess...). Par exemple, il est observé que la présence d'un trop grand nombre de piétons dans une région située immédiatement en amont d'une sortie provoque une perte drastique d'efficacité de la sortie.

Les modèles développés par Rosini et al. pour décrire de tels phénomènes sont basés sur l'ajout, dans les équations classiques LWR (Lighthill-Whitham and Richards) ou ARZ (Aw-Rascle and Zhang), d'une interface interne portant une contrainte ponctuelle ; la sévérité de cette contrainte est déterminée, d'une façon non locale, par la solution elle-même. L'étude mathématique et numérique de ces modèles combine la théorie des lois de conservation "à flux discontinu" avec des arguments de splitting ou de point fixe.