Cet exposé se voudra une invitation à l'étude de problèmes iso-spectraux. Je rappellerai des notions de mécanique hamiltonienne et notamment la notion de système intégrable et de tores invariants. J'énoncerai ensuite un problème de rigidité spectrale sur une variété compacte sans bord munie d'un opérateur proche du laplacien qui nous amènera à exhiber des invariants-isospectraux liés à des tores de la théorie K.A.M..

Les modèles qui décrivent l'activité électrique du cœur sont des EDP paraboliques couplées avec des systèmes d'EDO appelés modèles ioniques. Ces modèles appartiennent à la classe des équations de réaction diffusion raides et leur raideur provient à la fois de l'EDP et de l'EDO. Une technique usuelle pour leur résolution numérique consiste à utiliser un schéma implicite pour les termes de diffusion et explicite pour les termes de réaction, puisque ceux-ci sont non linéaires. Cependant la non linéarité des termes de réaction ne permet pas d'utiliser efficacement des schémas explicite classiques. [Rush, Larsen, IEEE TBME, 1978] ont pour cette raison proposé un schéma d'ordre un adapté à l'électrocardiologie. Plus récemment, [Perego, Venziani, ETNA, 2009] ont réinterpreté ce schéma comme un intégrateur discret exponentiel (voir [Hochkbruck, Osterman, Acta Numer, 2010]), et proposé une généralisation à l'ordre deux. En utilisant le principe des intégrateurs discrets exponentiels, je présenterai de nouveaux schémas d'ordre quelconque pour la simulation en électrophysiologie cardiaque. Je présenterai des résultats de stabilité, de consistance et de convergence de ces schémas, et j'illustrerai leurs propriétés par des tests numériques réalisés avec le modèles monodomaine couplé avec les modèles ioniques de Beeler Reuter (BR) et de TenTusscher & al (TNNP).

Je ferai un survol d'applications de la topologie à la neuroscience, de l'échelle des neurones à l'échelle des régions du cerveau. En particulier je décrirai en détail des collaborations avec le projet "Blue Brain" concernant l'analyse topologique de la structure et la fonction de microconnectomes digitalement reconstruits et concernant la classification topologique de types morphologiques de neurones, qui sert ensuite à la synthèse de modèles digitaux de neurones.

On (re)expliquera rapidement le calcul paracontrolé d'ordre 1 (introduit par Gubinelli, Imkeller et Perkowski) et comment il permet de résoudre le modèle parabolique d'Anderson en dimension 2, prototype des EDP singulières. En observant alors les obstacles pour la dimension 3, on expliquera le calcul d'ordre supérieur. En particulier, celui-ci fait intervenir l'introduction de paraproduits espace-temps, que nous détaillerons. C'est un travail en collaboration avec Ismaël Bailleul et Dorothee Frey.

A new numerical scheme to compute isothermal and unsteady flow of an incompressible viscoplastic Bingham medium will be presented. The main difficulty, for both theoretical and numerical approaches, is due to the non-differentiability of the plastic part of the stress tensor in regions where the rate-of-strain tensor vanishes. This is handled by reformulating the definition of the plastic stress tensor in terms of a projection. A new time scheme, based on the classical incremental projection method for the Newtonian Navier-Stokes equations, is proposed. The plastic tensor is treated implicitly in the first sub-step of the projection scheme and is computed by using a fixed point procedure. A pseudo-time relaxation is added into the Bingham projection whose effect is to ensure a geometric convergence of the fixed point algorithm. Stability and error analyses of the numerical scheme will be shown. Numerical results, obtained on the well-known two-dimensional lid-driven cavity test case, will be detailed for Reynolds number up to 10 000 and Bingham number up to 100.

En prenant mon temps, je vais expliquer ce qu'est un problème faiblement hyperbolique, et décrire une méthode d'énergie permettant de montrer l'existence de solutions. Nous aurons besoin des espaces de Gevrey, qui sont une classe de fonction C^{\infty} mais non analytiques. Nous ferons aussi, si le temps le permet, un petit détour vers l'inégalité de Glaeser et ses petites soeurs.

Soit u solution d’une équation de Klein-Gordon cubique, quasi-linéaire, en dimension 1 d’espace, avec données initiales régulières de taille petite. Il est connu que, sous certaines conditions sur la non-linéarité, la solution est globale en temps pour des données initiales à support compact. Nous montrons que ce résultat est aussi vrai quand les données ne sont pas à support compact mais seulement décroissantes à l’infini comme ⟨x⟩^{−1}, en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec une méthode de formes normales semi-classiques. De plus, nous obtenons un développement asymptotique à un terme pour u, prouvant ainsi un résultat de scattering modifié.

On s'intéressera aux notions d'homologie et de cohomologie, à travers quelques exemples simples et un historique depuis l'"analys situs" de Poincaré jusqu'à notre ère.