The notion of Quillen cohomology, first defined by Quillen in his seminal book and later extended to include coefficients in spectra, is a universal form of cohomology which enjoys a wide range of applications: it features in obstruction theories and spectral sequences abutting to mapping spaces, controls deformations of objects in the relevant contexts and tends to appear in moduli problems classifying objects realizing a given cohomological invariant. In this talk we will describe an approach to the computation of Quillen cohomology of categories enriched in a well behaved model category S. When S is the category of simplicial sets one recovers a model for the theory of oo-categories, in which case our computation identifies the Quillen cohomology of an oo-category C as the cohomology of spectrum valued functors on the twisted arrow category of C. When S is the category of marked simplicial sets one recovers a model for the theory of (oo,2)-categories, in which case our computation identifies the Quillen cohomology of an (oo,2)-category C with the cohomology of spectrum valued functors indexed by what we call the twisted 2-cell category of C. These results can be used to give explicit and computable obstruction theories for problems such as lifting homotopy commutative diagrams (in either a 1-categorical or a 2-categorical setting). This is joint work with Joost Nuiten and Matan Prasma.

Let $X$ be a simply connected, complete Riemannian manifold with pinched negative sectional curvatures. The critical exponent $\delta\Gamma$ of a discrete group of isometries $\Gamma$ of $X$ is equal to the abscissa of convergence of the Poincaré series of $\Gamma$; and for a cocompact $\Gamma0$, this is given by the volume growth of $X$. (Moreover, if $X$ is a symmetric space then there is a relationship between $\delta\Gamma$ and the bottom of the spectrum of the Laplacian on $X/\Gamma$.) Using a more dynamical approach, we characterise the existence of a uniform gap $\delta\Gamma<\delta{\Gamma0}$ for a family of (infinite index) normal subgroups $\Gamma$ of $\Gamma0$, in terms of permutation representations given by the quotients $\Gamma0/\Gamma$.

Certaines théories des champs classiques bidimensionnelles, où les champs prennent leurs valeurs dans un groupe ou un espace symétrique, possèdent la propriété d’intégrabilité. Les équations du mouvement prennent une forme particulière, dite forme de Lax, et l’on peut définir une infinité de charges conservées en involution par rapport au crochet de Poisson. C. Klimcik a proposé en 2002 une déformation de certains de ces modèles qui préserve l’intégrabilité. On donnera une description de ces modèles et de leurs généralisations, en particulier la déformation d’un modèle associé à la propagation d’une supercorde.

Une métrique extrémale, selon Calabi, est une métrique de Kähler canonique: elle minimise la courbure au sein d'une classe de Kähler donnée. Cette notion généralise celles de courbure scalaire constante ou de Kähler-Einstein. La recherche de telles métriques donne lieu à un problème variationnel dont les solutions devraient correspondre, d'après la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, à des variétés stable au sens de la théorie géométrique des invariants.

Dans cet exposé, on démontre qu'une variété projective munie d'une métrique extrémale est asymptotiquement stable au sens de Chow, confirmant une conjecture de Apostolov-Huang. Comme applications, on obtient une preuve simplifiée de l'unicité d'une métrique extrémale, ainsi qu'une généralisation du théorème de scission d'Apostolov-Huang. Ceci est un travail en collaboration avec Yuji Sano (Université de Fukuoka).