Certaines inégalités de Gagliardo-Nirenberg sont équivalentes à des inégalités d’entropie - production d’entropie qui peuvent être établies par la méthode de Bakry-Emery, dite aussi méthode du carré du champ, appliquée à des équations de diffusion rapide. En présence de poids, des flots non-linéaires adaptés peuvent aussi être utilisés comme outil pour l’étude des questions de symétrie et de brisure de symétrie dans les inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Les asymptotiques en temps grand déterminent quel régime de symétrie doit être considéré. Ce séminaire soulignera le rôle des inégalités linéarisées dans l’étude des équations d’évolution non-linéaires et les conséquences pour les inégalités d’interpolation et la détermination des constantes optimales correspondantes.

The motivation of this work is the detection of cerebrovascular accidents by microwave tomographic imaging. This requires the solution of an inverse problem based on a minimization algorithm with successive solutions of a direct problem such as the modeling of a whole-microwave measurement system. The feasibility of this type of imaging is conditioned on one hand by an accurate reconstruction of the material properties of the propagation medium and on the other hand by a considerable reduction of simulation time. Fulfilling these two requirements will enable a very rapid and accurate diagnosis. From the mathematical and numerical point of view, this means solving Maxwell's equations in time-harmonic regime using high-order finite elements, domain decomposition method and parallel computing.

Euler equations for compressible flows treats pressure as a scalar quantity. However, for several applications this description of pressure is not suitable. Many extended model based on the higher moments of Boltzmann equations are considered to overcome this issue. One such model is Ten-moment Gaussian closure equations, which treats pressure as symmetric tensor.

In this work, we develop a higher-order, positivity preserving Discontinuous Galerkin (DG) scheme for Ten-moment Gaussian closure equations. The key challenge is to preserve positivity of density and symmetric pressure tensor. This is achieved by constructing a positivity limiter. In addition to preserve positivity, the scheme also ensures the accuracy of the approximation for smooth solutions. The theoretical results are then verified using several numerical experiments. This is a joint work with Dr. Praveen Chandrashekar (TIFR-CAM, Bangalore) and Ms. Asha Meena (IIT Delhi).

We discuss recent developments on Gaussian upper bounds for the heat kernel depending on certain integral bounds for the negative part of the Ricci curvature and connect them with the so called Kato condition, where the negative part of the Ricci curvature will be considered as a perturbation of the Laplace-Beltrami operator.

La question d'obtenir des équations de la mécanique des fluides à partir de systèmes déterministes de particules en interaction satisfaisant aux équations de Newton, dans la limite où le nombre de particules tend vers l'infini, est posée par Hilbert dans son sixième problème. Dans cet exposé nous présenterons quelques avancées dans ce programme. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau et Laure Saint Raymond.

On s’intéresse ici au problème de Calderón anisotrope dans une classe conforme en dimension supérieure ou égale à 3. La question est de savoir si l’on peut retrouver dans une variété riemannienne lisse à bord un facteur conforme à partir des données de Cauchy des fonctions harmoniques. En dimension 2, la question de l’unicité est résolue, ainsi qu'en dimension supérieure ou égale à 3 pour des métriques analytiques. Dans le cas lisse, quelques progrès récents ont été faits sous des hypothèses de structure de la métrique — métrique produit avec un facteur euclidien — et géométriques sur la partie transverse — simplicité ou injectivité de la transformée à rayons géodésiques. La méthode est basée sur la construction de couples de quasimodes se concentrant dans la partie transverses sur la même géodésique. Nous souhaitons pousser la méthode pour nous affranchir des hypothèses géométriques transverses, en considérant des couples de quasimodes se concentrant sur deux géodésiques distinctes. Pour l’instant, nous pouvons obtenir des résultats de régularisation dans le problème linéarisé (autour d’un facteur conforme constant). Ce travail est basé sur une collaboration avec Y. Kurylev, M. Lassas, T. Liimatainen et M. Salo.

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir en EDP. A partir de l'étude de deux cas modèles, sur le cercle et sur la droite réelle, nous verrons en quoi le choix d'un espace produit apparaît naturellement, et comment ce choix permet de construire des solutions mettant en évidence un échange d'énergie en temps infini.

On s'intéresse aux différentes quantifications du tore de dimension un et plus précisément à la quantification de Berezin-Toeplitz, à la quantification de Weyl et à la quantification de Weyl complexe, notion que nous allons définir comme une variante de la quantification de Weyl complexe de R^2 introduite par Johannes Sjöstrand. Le but de cet exposé est d'établir un lien entre ces différentes quantifications du tore notamment grâce à la transformée de Bargmann.