(travail en commun avec Jean Fasel) Voevodsky a défini la cohomologie motivique en commençant par construire les correspondances finies, une version algébrique des fonctions multivaluées. Les groupes de Chow n’y apparaissent pas explicitement, mais ils sont sous-jacents, et j’expliquerai une façon de les révéler. Cela permettra de les remplacer par les groupes de Chow-Witt, en lien avec les formes quadratiques, et de poursuivre la construction de Voevodsky, afin d’obtenir de nouveaux groupes de cohomologie motivique, dits « généralisés » fournissant des informations plus fines sur la catégorie homotopique des schémas, pendant algébro-géométrique de la catégorie homotopique des espaces topologiques.

Je citerai les quelques calculs non triviaux que nous pouvons faire, notamment une généralisation d’un théorème de Suslin-Nesterenko-Voevodsky-Totaro qui identifie la cohomologie motivique d’un corps à la K-théorie de Milnor.