Demailly (2012) showed that the Hodge conjecture is equivalent to the statement that any (p,p)-dimensional closed current with rational cohomology class can be approximated by linear combinations of integration currents; Moreover, the statement that any (p,p)-dimensional closed current with rational cohomology class can be approximated by linear combinations of integration currents; Moreover, the statement that all strongly positive currents with rational cohomology class can be approximated by positive linear combinations of integration currents, can be viewed as a strong version of the Hodge conjecture (1982). In this talk, I will explain the construction of a current which does not verify the latter statement on a toric variety, where the Hodge conjecture is known to hold. The example belongs to the family of `complex tropical currents', which we extend their framework to toric varieties, discuss their extremality properties, and express their cohomology classes as recession fans of their underlying tropical varieties. Finally, the counter-example will be the tropical current associated to a 2-dimensional balanced subfan of a 4-dimensional toric variety, whose intersection form does not have the right signature in terms of the Hodge index theorem. This is a joint work with June Huh.

During this talk, we will focus on the problem of testing the equality of metric measure spaces (mm-spaces) up to an isomorphism (a measure-preserving isometry), giving samples on these spaces. For this purpose, we introduce a new shape signature, the distance-to-a-measure signature, which is a probability measure on R+ built from the mm-space of interest. To reach our goal, we use bootstrap methods, involving Wasserstein metrics.

Affine measures have been introduced in Harmonic Analysis to facilitate the study of Fourier Restriction problems and regularity of averages along curves and hypersurfaces (i.e. Radon transforms). In this talk we motivate and define the Affine Measures and then move on to discuss the geometric interpretation of such objects. We review a classical result of D. Oberlin relating such measures to a Hausdorff-type ambient measure and then discuss some new results in the same spirit (joint work with J. Hickman): geometric interpretations for the case of flat hypersurfaces, and geometric interpretations for a non-translation invariant case.

I will discuss the location of the transmission eigenvalues on the complex plane as well as the Weyl formula of their counting function.

L'espace Anti-de-Sitter est une des solutions fondamentales des équations d'Einstein. La géométrie de cet espace donne lieu a des problèmes d'évolution avec données initiales et conditions au bord et les propriétés de stabilité et d'instabilité d'Anti-de-Sitter dépendent fortement du choix des conditions au bord. Dans le cas de conditions réflexives, nous énoncerons une conjecture et donnerons quelques heuristiques sur l'instabilité de la solution. Dans le cas de conditions dissipatives, nous présenterons des résultats obtenus en collaboration avec Claude Warnick, Gustav Holzegel et Jonathan Luk donnant des estimations de décroissance pour les solutions des équations linéarisées.

La conjecture de Weinstein affirme que tout champ de Reeb sur une variété close possède une orbite périodique. Dans cet exposé, on présentera une stratégie de preuve pour le cas des variétés de contact portées par un livre ouvert de forme particulière : la page est obtenue en attachant à un domaine de Weinstein une anse critique le long d'une sphère legendrienne lâche et homologiquement triviale. Cette approche s'appuie sur des travaux récents de Bourgeois, Ekholm et Eliashberg sur les anses critiques

Les objets noués (nœuds, entrelacs, tresses, enlacements de chemins...) admettent des représentations fidèles en termes de diagrammes planaires à mouvements de Reidemeister près. Dans la littérature on a considéré ces classes d’équivalences de diagrammes avec d’autres mouvements locaux additionnels; dans certains cas (e.g. le crossing change) la théorie devient peu intéressante, dans d'autres cas (e.g. le self crossing change) la théorie reste très riche et topologiquement significative. Dans ce séminaire nous allons introduire/rappeler des analogues en dimension 4 des nœuds et d’autres objets noués et on va considérer des représentations de ces objets comme des diagrammes planaires, qui étendent les diagrammes planaires classiques et qu'on appellera welded. On montrera des relations avec le cas classique, des résultats de classification pour ces objets à plusieurs types de mouvements locaux près, et comment certains mouvements locaux dans le cadre welded étendent naturellement d’autres (différents) mouvements locaux dans le cadre classique. Travail en collaboration avec B. Audoux, J-B. Meilhan et E. Wagner.