Euler equations for compressible flows treats pressure as a scalar quantity. However, for several applications this description of pressure is not suitable. Many extended model based on the higher moments of Boltzmann equations are considered to overcome this issue. One such model is Ten-moment Gaussian closure equations, which treats pressure as symmetric tensor.

In this work, we develop a higher-order, positivity preserving Discontinuous Galerkin (DG) scheme for Ten-moment Gaussian closure equations. The key challenge is to preserve positivity of density and symmetric pressure tensor. This is achieved by constructing a positivity limiter. In addition to preserve positivity, the scheme also ensures the accuracy of the approximation for smooth solutions. The theoretical results are then verified using several numerical experiments. This is a joint work with Dr. Praveen Chandrashekar (TIFR-CAM, Bangalore) and Ms. Asha Meena (IIT Delhi).

We discuss recent developments on Gaussian upper bounds for the heat kernel depending on certain integral bounds for the negative part of the Ricci curvature and connect them with the so called Kato condition, where the negative part of the Ricci curvature will be considered as a perturbation of the Laplace-Beltrami operator.

La question d'obtenir des équations de la mécanique des fluides à partir de systèmes déterministes de particules en interaction satisfaisant aux équations de Newton, dans la limite où le nombre de particules tend vers l'infini, est posée par Hilbert dans son sixième problème. Dans cet exposé nous présenterons quelques avancées dans ce programme. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau et Laure Saint Raymond.

On s’intéresse ici au problème de Calderón anisotrope dans une classe conforme en dimension supérieure ou égale à 3. La question est de savoir si l’on peut retrouver dans une variété riemannienne lisse à bord un facteur conforme à partir des données de Cauchy des fonctions harmoniques. En dimension 2, la question de l’unicité est résolue, ainsi qu'en dimension supérieure ou égale à 3 pour des métriques analytiques. Dans le cas lisse, quelques progrès récents ont été faits sous des hypothèses de structure de la métrique — métrique produit avec un facteur euclidien — et géométriques sur la partie transverse — simplicité ou injectivité de la transformée à rayons géodésiques. La méthode est basée sur la construction de couples de quasimodes se concentrant dans la partie transverses sur la même géodésique. Nous souhaitons pousser la méthode pour nous affranchir des hypothèses géométriques transverses, en considérant des couples de quasimodes se concentrant sur deux géodésiques distinctes. Pour l’instant, nous pouvons obtenir des résultats de régularisation dans le problème linéarisé (autour d’un facteur conforme constant). Ce travail est basé sur une collaboration avec Y. Kurylev, M. Lassas, T. Liimatainen et M. Salo.

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir en EDP. A partir de l'étude de deux cas modèles, sur le cercle et sur la droite réelle, nous verrons en quoi le choix d'un espace produit apparaît naturellement, et comment ce choix permet de construire des solutions mettant en évidence un échange d'énergie en temps infini.

On s'intéresse aux différentes quantifications du tore de dimension un et plus précisément à la quantification de Berezin-Toeplitz, à la quantification de Weyl et à la quantification de Weyl complexe, notion que nous allons définir comme une variante de la quantification de Weyl complexe de R^2 introduite par Johannes Sjöstrand. Le but de cet exposé est d'établir un lien entre ces différentes quantifications du tore notamment grâce à la transformée de Bargmann.

Contrairement à leurs consœurs dans R^3, les surfaces minimales complètes proprement plongées et de courbure totale finie dans un R^4 n'ont pas été beaucoup étudiées; elles constituent néanmoins un domaine riche et prometteur. Je commencerai par rappeler du formalisme:
a) leur écriture locale par 4 fonctions holomorphes liées par une équation quadratiques,
b) leurs plans tangent et normal, avec leurs courbures
c) l'application de Gauss qui associe à une surface dans R^4 ses plans tangents dans la Grassmannienne des plans orientés de R^4.

Puis j'expliquerai les nœuds/tresses que ces surfaces définissent par leurs bouts à l'infini et leur lien avec le formalisme décrit plus tôt. Enfin je discuterai quelques exemples et problèmes.