Nous améliorons le résultat obtenu par Pierre-Yves Bienaimé dans sa thèse concernant l'existence locale et l’effet régularisant pour des équations de Schrôdinger généralisées. L’amélioration porte aussi bien sur l’indice de régularité Sobolev en espace que sur l’indice (exposant) mesurant l’effet régularisant.

In this talk we introduce the Kramers-Fokker-Planck equation as a way to describe Brownian motion. The summary of known results about the corresponding operator is presented and then our main aim is to study large-time asymptotics of solutions of the KFP equation with a short-range potential in dimension one. After finding the expansion of the resolvent near the threshold of the essential spectrum we may employ representation formula of the semigroup in terms of the resolvent to obtain the asymptotics of solutions.

Dans cet exposé nous rapportons sur les applications des méthodes développées à l'origine pour le problème de diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger avec champ magnétique à la tomographie acoustique de fluide en écoulement.

Soit (M,g) une variété Riemannienne lisse compacte, connexe à bord de dimension supérieure ou égale à 3. Nous montrons qu'il existe une infinité de métriques appartenant à la même classe conforme que g et ayant la même application Dirichlet-Neumann, lorsque les données sont mesurées sur des ouverts disjoints du bord. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Thierry Daudé (Université de Cergy-Pontoise) et Niky Kamran (McGill University).

We shall discuss the enumerative problem of counting the number of complex curves (in complex projective space of dimension 2) which pass through the requisite number of generic points and has a prescribed singularity at one point. Our exposition will be from a topological point of view via the ubiquitous Euler class.

Cet exposé se voudra une invitation à l'étude de problèmes iso-spectraux. Je rappellerai des notions de mécanique hamiltonienne et notamment la notion de système intégrable et de tores invariants. J'énoncerai ensuite un problème de rigidité spectrale sur une variété compacte sans bord munie d'un opérateur proche du laplacien qui nous amènera à exhiber des invariants-isospectraux liés à des tores de la théorie K.A.M..

Les modèles qui décrivent l'activité électrique du cœur sont des EDP paraboliques couplées avec des systèmes d'EDO appelés modèles ioniques. Ces modèles appartiennent à la classe des équations de réaction diffusion raides et leur raideur provient à la fois de l'EDP et de l'EDO. Une technique usuelle pour leur résolution numérique consiste à utiliser un schéma implicite pour les termes de diffusion et explicite pour les termes de réaction, puisque ceux-ci sont non linéaires. Cependant la non linéarité des termes de réaction ne permet pas d'utiliser efficacement des schémas explicite classiques. [Rush, Larsen, IEEE TBME, 1978] ont pour cette raison proposé un schéma d'ordre un adapté à l'électrocardiologie. Plus récemment, [Perego, Venziani, ETNA, 2009] ont réinterpreté ce schéma comme un intégrateur discret exponentiel (voir [Hochkbruck, Osterman, Acta Numer, 2010]), et proposé une généralisation à l'ordre deux. En utilisant le principe des intégrateurs discrets exponentiels, je présenterai de nouveaux schémas d'ordre quelconque pour la simulation en électrophysiologie cardiaque. Je présenterai des résultats de stabilité, de consistance et de convergence de ces schémas, et j'illustrerai leurs propriétés par des tests numériques réalisés avec le modèles monodomaine couplé avec les modèles ioniques de Beeler Reuter (BR) et de TenTusscher & al (TNNP).