Contrairement à leurs consœurs dans R^3, les surfaces minimales complètes proprement plongées et de courbure totale finie dans un R^4 n'ont pas été beaucoup étudiées; elles constituent néanmoins un domaine riche et prometteur. Je commencerai par rappeler du formalisme:
a) leur écriture locale par 4 fonctions holomorphes liées par une équation quadratiques,
b) leurs plans tangent et normal, avec leurs courbures
c) l'application de Gauss qui associe à une surface dans R^4 ses plans tangents dans la Grassmannienne des plans orientés de R^4.

Puis j'expliquerai les nœuds/tresses que ces surfaces définissent par leurs bouts à l'infini et leur lien avec le formalisme décrit plus tôt. Enfin je discuterai quelques exemples et problèmes.

Dans une première partie, je vous présenterai le modèle HMF Poisson (Hamiltonian mean field model) et expliquerai dans quel contexte, il apparaît. Je définirai ensuite la notion de stabilité orbitale. Puis dans un second temps, je démontrerai la stabilité orbitale des états stationnaires qui sont solutions d’un problème de minimisation à une contrainte. Pour finir, j’expliquerai comment il est possible de démontrer la stabilité orbitale d’une classe plus grande d’états stationnaires.

L'équation de Korteweg-de Vries (KdV) et le système abcd sont deux modèles hydrodynamiques dispersifs pouvant modéliser le mouvement des vagues de faible amplitude en eaux peu profondes. Nous proposons un schéma numérique aux différences finies afin de discrétiser ces deux modèles et étudions sa convergence par une analyse de stabilité $\ell^2$ et d'erreur de consistance. L'ordre de convergence est quantifié par rapport à la régularité de Sobolev de la donnée initiale.

Le résumé est visible ici.

Il s’agit d’un projet avec W. Chacholski, A. Neeman et W. Pitsch dont l’origine se trouve dans les travaux de Spaltenstein sur la construction de résolutions de complexes non bornés et ceux de Christensen-Hovey sur la construction de structures modèles relatives. La difficulté d’une telle construction dans le cas projectif et celle encore plus grande de sa dualisation dans le cas injectif nous poussent à étudier cette question du point de vue des approximations de modèle. J’aimerais présenter ce concept, proposer un candidat de catégorie modèle pour approximer les complexes de chaînes non bornés, et montrer que sous un analogue relatif de l’axiome AB4*-n de Roos, la question est résolue positivement. Je mentionnerai également les limites de cette approche, quand l’axiome mentionné n’est pas satisfait.

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