Originally defined by Nadler, an arboreal singularity of a Lagrangian is a robust kind of singularity; notable in that any Lagrangian singularity can be deformed into one with only arboreal singularities. They are also interesting algebraically, because an arboreal singularity is determined by a quiver (a rooted tree), and the space of constructable sheaves on the arboreal singularity coincides with the space of representations of the quiver. However, often times an arboreal Lagrangian skeleton will have free boundary components, so the space of sheaves is considerable smaller, even locally. Geometrically this corresponds to removing a number of the top dimensional strata, which we call pruning. We prove that the link of a pruned arboreal singularity is loose, if and only if the singularity admits no non-constant constructable sheaves. We'll also discuss how this fits into a larger program of using the wrapped Fukaya category to detect flexibility of Weinstein manifol

Une théorie quantique des champs topologiques (TQFT) en dimension (1+1) associe à chaque cercle une algèbre de Frobenius et à une surface en pantalon le morphisme de co/multiplication de l'algèbre de Frobenius . En particulier elle associe à une surface fermée un nombre.

On s'attachera dans cette exposé à expliquer une construction similaire où on considère certains graphes plantaires à la place des cercles et aussi des mousses qui sont des cobordismes naturelles entre ces graphes. On présentera en particulier une formule permettant de calculer cette TQFT trivalente sur les mousses fermées et on verra comment celle ci-permet de reconstruire la TQFT entièrement grâce à un procédé de construction universelle.

Une bonne partie de l'exposé s'attachera à motiver cette construction et à expliquer ses liens avec la théorie des représentations du groupe quantique de type A et les invariants d'entrelacs associées. On esquissera aussi le lien avec l'anneau de cohomologie des drapeaux partiels et conjecturalement la cohomologie de certains autres espaces de modules.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la résolution numérique d'équations de convection-diffusion non-linéaires munies de conditions de flux nuls ou/et Dirichlet non-homogènes au bord. Pour une certaine classe de non-linéarités, ces équations admettent une large gamme d'entropies relatives assurant la convergence de la solution en temps long vers l'état stationnaire.

Nous proposerons un schéma volumes finis construit à partir des flux discrets de l'équation stationnaire et préservant toutes ces fonctionnelles de Lyapunov. Cela nous permettra d'obtenir un comportement en temps long précis au niveau discret ainsi que les estimations nécessaires pour assurer la convergence du schéma. Nous illustrerons par des simulations numériques le bon comportement en temps long du schéma sur différents modèles, tels que l'équation de Fokker-Planck avec champ magnétique ou l'équation des milieux poreux. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Francis Filbet.

On commencera par introduire les espace hyperboliques au sens de Gromov. On s'intéressera essentiellement à deux exemples: les variétés différentielles hyperboliques et les arbres.

Après un bref exposé des isométries de ces espaces, on étudiera le comportement asymptotique des marches aléatoires dans les espace Gromov-hyperboliques: transience et convergence au bord.

Le but de cet exposé sera d'introduire le concept de masse et d'expliquer comment la positivité de cet invariant permet de comprendre la géométrie de variétés riemanniennes non compacts. Après un détour par la relativité générale, qui est son milieu d'origine, on s'intéressera en particulier au cas des variétés kählériennes asymptotiquement euclidiennes, cas dans lequel le théorème de la masse positive a été démontré récemment par Hein et Lebrun.

Khovanov et Seidel ont montré dans les années 2000 un résultat de catégorification algébrique de la représentation de Burau et ont prouvé sa fidélité à travers une étude de courbes dans un disque épointé. Dans un travail récent avec Anne-Laure Thiel et Emmanuel Wagner nous avons généralisé ces résultats au groupe de tresse de type A affine étendu. Les travaux de Khovanov et Seidel avaient également un aspect symplectique que nous généralisons maintenant.

Dans cet exposé, après avoir rappelé certaines définitions et certains outils de notre article, je montrerai comment nous pouvons obtenir une généralisation de la représentation symplectique de Khovanov et Seidel et prouver sa fidélité. Dans un second temps j'expliquerai comment ceci devrait nous permettre de définir une catégorification symplectique de cette action du groupe de tresse de type A affine étendu.

Ceci est un travail en cours en collaboration avec Anne-Laure Thiel et Emmanuel Wagner.

Topological recursion is a recursive definition, that to a spectral curve (an analytic plane curve with some extra structure) associates an infinite sequence of meromorphic n-forms on the curve, denoted W{g,n}. - If one takes as spectral curve, the mirror of a toric Calabi-Yau 3-fold, then W{g,n} happens to coincide with the generating series of open Gromov-Witten invariants of genus g with n boundaries (this was the BKMP conjecture, now proved). - more generally, there is a formula, giving the W{g,n} of an arbitrary curve, in terms of integrals of Chiodo tautological classes in the moduli space of curves of genus g with n marked points. This formula makes the link with Givental formalism. - Also, if one takes as spectral curve the A-polynomial of a knot, the W{g,n} seem to recover the asymptotic expansion of the Jones polynomial (W_{0,1} is the differential of the hyperbolic volume). This is only a conjecture, waiting for a proof.