Les méthodes de recollement ont permis d'obtenir de nouveaux exemples de métriques canoniques sur des variétés kählériennes, obtenues par exemple par éclatement ou résolution de singularités d'un orbifold Kähler muni d'une métrique à courbure scalaire constante ou extrémale. L'objet de mes travaux est d'appliquer ces méthodes au cas plus général de variétés presque-Kähler, autrement dit de variétés symplectiques munie d'une structure presque complexe compatible mais non nécessairement intégrable. Dans ce cadre, on construit des métriques à courbure hermitienne constante, qui constituent une généralisation naturelle de la courbure scalaire dans le cadre Kähler.

Si (Mn,g) est une variété riemannienne compacte sans bord, la loi de Weyl stipule que

où N(λ) désigne le nombre de valeurs propres (comptées avec multiplicité) de l’opérateur de Laplace-Beltrami inférieures ou égales à λ. Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec L. Ambrosio (SNS Pise) et S. Honda (Tokohu University) dans lequel nous établissons la loi de Weyl sur un espace RCD(K,N) compact, où K ∈ ℝ et N ∈ [1, +∞). Un espace RCD(K,N) est un espace métrique mesuré (complet, séparable et géodésique) sur lequel les propriétés de transport optimal entre mesures de probabilité sont semblables à celles sur une variété riemannienne (Mn,g) telle que Ric g ≥ Kg et n ≤ N et admettant un opérateur laplacien linéaire. Je donnerai les propriétés essentielles de ces espaces - notamment leurs liens avec les Ricci limites - avant d’expliquer l’intérêt de l’étude de la loi de Weyl dans ce contexte et comment on l’établit.

Le club de math fait sa rentrée.

En 1959, R.V. Kadison et I.M. Singer demandaient si tout état pur sur l'algèbre des opérateurs diagonaux bornés sur $\ell^2$, admet une extension unique en un état pur de $B(\ell^2)$. La réponse positive a été donnée en juin 2013 par A. Marcus, D. Spielman et N. Srivastava, après une série de traductions du problème original, par C. Akemann, J. Anderson, N. Weaver... Au final, le problème se ramène à une estimation du plus grand zéro de l'espérance du polynôme caractéristique d'une somme de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans les matrices semi-définies positives de rang 1 dans l'algèbre des matrices n-fois-n.

Cet exposé traitera de modèles d'EDPs avec contraintes issues de la mécanique des fluides qui permettent de décrire en temps et en espaces des systèmes physiques et/ou biologiques complexes au travers de quantités physiques telles que la densité et la vitesse. La première partie de l'exposé sera consacrée à la présentation d'une approche numérique explicite/implicite basée sur un splinting en temps qui permet d'alléger la contrainte de stabilité (CFL) pour le système de trafic routier d'Aw-Rascle avec contrainte. La seconde partie portera sur la modélisation à l'aide de la théorie des mélanges de systèmes biophysiques : après avoir présenté un modèle pour la croissance de biofilm de micro-algues nous décrirons l'approche numérique élaborée et nous commenterons les résultats de certaines simulations.