Colorions les entiers (disons relatifs) en bleu, vert, rouge. Quels sont les motifs que l'on peut observer dans cette suite ? Difficile de répondre à cette question, elle est assez large pour y faire rentrer des pans entiers de mathématiques contemporaines. Ça en fait un bon point de départ pour un séminaire, non ?

Je n'aurai malheureusement pas le temps d'exposer tous ces aspects ; je me concentrerai sur les résultats issus de la théorie des systèmes dynamiques (je vous encourage à aller regarder vous-même du côté de la théorie ergodique), et prouverai entre autres le théorème de Van der Waerden : pour tout coloriage avec un nombre fini de couleurs, il existe au moins une couleur contenant des suites arithmétiques arbitrairement longues. Ce résultat sympathique mais qui ne paie pas de mine est à la base du théorème de Green-Tao [2004] : les entiers premiers contiennent des suites arithmétiques arbitrairement longues. Et ça mes amis, c'est ce que l'on appelle de belles mathématiques.

Lorsqu'on prend une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 i.i.d de loi μ sur SL(n,R), on peut s'intéresser aux produits de ces matrices.

On prend μ une mesure de probabilité à support fini et on étudie l'asymptotique des produits Xn...X1 et X1...Xn d'abord dans le cas où le support de la mesure est commutatif. Dans le cas non commutatif on introduit les exposants de Lyapunov par une sorte de loi des grands nombre sur ces produits ainsi que plusieurs théorèmes limites dûs à Furstenberg-Kesten, Guivarc'h-Raugi. Un des objets limites associé est ce qu'on appelle la matrice de Lyapunov.

Une des questions que je pose est la suivante : où peut-on "trouver" ces moyennes de Lyapunov lorsqu'on fait varier le support de la mesure μ dans un sous-groupe Γ ?

Un problème central de la géométrie spectrale des surfaces hyperboliques est l'étude des petites valeurs propres du laplacien (i.e. contenues dans l'intervalle [0,1/4[ ). On verra comment, sous une hypothèse de systole minorée, on peut minorer ces valeurs propres, et éventuellement montrer l'absence de petites valeurs propres non nulles.

Un domaine $f$-extrémal dans une variété $M$ est un domaine $\Omega$ qui admet une solution positive $u$ à l'équation $\Delta u+f(u)=0$ avec donnée de Dirichlet nulle au bord et donnée de Neumann constante. Grâce à un résultat de Serrin il est connu que dans $\mathbb R^n$ un tel domaine $f$-extrémal doit être une boule. Dans cet exposé, je démontrerai qu'un domaine $f$-extrémal de $\mathbb S^2$ qui est topologiquement un disque est nécessairement un disque géodésique sous certaines hypothèses sur $f$.

Il s'agit d'un travail en commun avec J.M. Espinar.

Il est connu qu'un polynôme générique de degré d possède d racines complexes. Si le polynôme est réel, le nombre de racines réelles dépend fortement des coefficients. Je vais expliquer comment calculer la moyenne du nombre de racine réel d'un polynôme aléatoire à l'aide de la géométrie complexe et de la géométrie intégrale. Plus généralement, je vais introduire quelques problèmes typiques en géométrie réelle aléatoire.

Dans cet exposé nous traiterons de l'approximation numérique d'un modèle de plasma quasi-neutre dans le régime de dérive. Plus précisément, on introduira un schéma de volumes finis utilisant des grilles décalés pour l'approximation du système d'Euler-Boltzmann quasi-neutre. Le régime de dérive correspond à la limite du système lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. On montrera que le schéma ainsi introduit est inconditionnellement stable. La preuve repose sur la conservation de la positivé et la décroissance d'une énergie discrète. La non linéarité du schéma étant le prix à payer pour obtenir de la stabilité inconditionnelle, nous proposerons un schéma itératif linéaire pour le résoudre pour lequel il est prouvé qu'il est linéairement stable L2 indépendamment du paramètre asymptotique et préserve la positivité. Quelques illustrations numériques seront données et nous comparerons le coût du schéma avec un schéma explicite.