In this talk, we will study a complex network composed of fibers having the ability to cross-link or unlink each other and to align with each other at the cross links. This model aims to describe networks of collagen fibers in a fibrous tissue. We will first present a microscopic model which features the following basic rules: We assume the existence of a fiber unit element (or monomer) modeled as a line segment of fixed length. We suppose that two fiber elements that cross each other may form a link, thereby creating a longer fiber. The fibers have the ability to branch off and to achieve complex network topologies. We include fiber resistance to bending by assuming the existence of a torque which, in the absence of any other force, makes the two linked fiber elements align with each other. Fibers are also subject to random positional and orientational noise and to external positional and orientational potential forces. Finally, cross-links may also be removed to model possible fiber breakage or depolymerization. We then formally derive a kinetic model for the fiber and cross-links distribution functions, and consider the fast linking/unlinking regime in which the model can be reduced to the fiber distribution function only. Then, we investigate its diffusion limit. The resulting macroscopic model consists of a system of nonlinear diffusion equations for the fiber density and mean orientation. In the case of a homogeneous fiber density, we show that the model is elliptic. We finally will present simulation results which show the good correspondence between the microscopic and the macroscopic models.

Les lagrangiens stationaires sont une généralisation naturelle des variétés spéciales lagrangiennes. Ces dernières, au cœur de la symétrie mirroir, n'ont de sens que dans les variétés de Calabi-Yau, tandis que les lagrangiens stationnaires sont pertinents dans n'importe quelle variété kählérienne, ou même presque Kähler.

Les variétés spéciales lagrangiennes sont très rares. Nous montrerons qu'au contraire il est facile de construire des variétés, ou même des fibrations par les variétés lagrangiennes stationnaires. De nombreux exemples peuvent notamment être obtenus en déformant les variétés kählériennes toriques.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique des fluides isothermes évoluant dans le domaine de communication extérieur d'un trou noir de Schwarzschild. Nous présenterons plusieurs méthodes numériques basées sur la géométrie de Schwarzschild et étudierons numériquement la stabilité nonlinéaire des solutions `` équilibre'' et le comportement asymptotique des solutions générales de l'équation d'Euler et de l'équation de Burgers. Les schémas proposés fournissent un outils numérique capable de préserver exactement les équilibres et nous permettent d'analyser l'evolution de fluides avec effets géométriques.

Plusieurs modèles issus de processus de moyenne s’écrivent sous la forme d’équations aux dérivées partielles qui n’admettent pas de formulation conservative. Cela engendre plusieurs difficultés mathématiques qui seront brièvement exposées. Dans bien des cas, ces systèmes admettent un couple entropique de Lax, nous verrons les conséquences en terme d’analyse de stabilité. En particulier, les questions autour de l’applicabilité de la notion d’entropie relative seront discutés.

La quantification de Berezin-Toeplitz est une généralisation des travaux de Bargmann sur les oscillateurs harmoniques quantiques. Elle permet de quantifier des variétés complexes compactes, et permet en particulier de traiter les systèmes de spins dans la limite semi-classique. Dans cet exposé, nous présenterons des travaux récents concernant des critères de localisation des états fondamentaux en régime semiclassique dans le cadre de la quantification de Berezin-Toeplitz, un problème déjà traité par Helffer et Sjöstrand pour les opérateurs de Schrödinger, et qui valident une heuristique énoncée par Douçot concernant les systèmes de spins frustrés.