On abordera le problème de la formation des Mach stems dans un fluide compressible, notamment via la formation de singularités sur le front d'une onde de choc. La justification rigoureuse d'une telle formation d'un Mach stem passe par un problème d'optique géométrique fortement non-linéaire dont on montrera qu'il admet des solutions approchées à tout ordre. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Mark Williams (University of North Carolina).

In this talk, we show that using repulsive random variables, it is possible to build Monte Carlo methods that converge faster than vanilla Monte Carlo. More precisely, we build estimators of integrals, the variance of which decreases as $N^{-1-1/d}$, where $N$ is the number of integrand evaluations, and $d$ is the ambient dimension. To do so, we propose stochastic numerical quadratures involving determinantal point processes (DPPs) associated to multivariate orthogonal polynomials. The proposed method can be seen as a stochastic version of Gauss' quadrature, where samples from a determinantal point process replace zeros of orthogonal polynomials. Furthermore, integration with DPPs is close in spirit to randomized quasi-Monte Carlo methods, leveraging repulsive point processes to ensure low discrepancy samples.

Les séries chronologiques à coefficients aléatoires sont devenues très populaires au fil des années, en raison de leur grande flexibilité. Il est cependant contre-intuitif de supposer l'indépendance des coefficients lorsque le modèle est chronologique, ce qui est généralement fait. Dans cet exposé, on proposera une première approche dans laquelle les coefficients sont corrélés. On montrera en particulier dans le cadre d'un exemple autorégressif simple que l'estimateur usuel, tout en restant asymptotiquement normal, n'est plus consistant, ce qui pose certains problèmes d'interprétation sur les données réelles. On souhaitera également par ce travail motiver l'étude de dépendances plus générales dans les coefficients.

En général, pour un espace topologique quelconque la dualité de Poincaré n'existe pas, Poincaré le savait et a donné un contre exemple à son théorème de dualité : la suspension du tore. Si l'on souhaite restaurer la dualité de Poincaré (à coefficients rationnels) pour des espaces dits singuliers, par exemple les variétés algébriques singulières, on a deux méthodes : - une méthode "algébrique" : la (co)homologie d'intersection, - une méthode "topologique" : les espaces d'intersection.

On se concentrera sur la deuxième méthode. Étant donnée une pseudovariété stratifiée à singularités isolées, on peut lui associer une famille d'espaces topologiques indexées sur un nombre fini d'entiers : la famille de ses espaces d'intersections. La cohomologie réduite rationnelle de cette famille vérifie alors une "dualité de Poincaré généralisée". La première partie de l'exposé sera consacrée à l'introduction des différentes notions nécessaires ainsi qu'à la définition des espaces d'intersection. Dans la seconde partie on verra comment dans certains cas on peut considérer la cohomologie rationnelle dans son intégralité et non plus la réduite en construisant des espaces à dualité de Poincaré rationnelle. Enfin, si le temps le permet on discutera des possibles généralisations des résultats présentés.

Nous prouvons que le groupe fondamental d'un splicing de deux non-triviaux dans S^3 possède des représentations irréductibles dans SU(2). En utilisant des résultats de Boileau-Rubinstein-Wang, cela implique que le groupe fondamental de toute 3-sphère d'homologie différente de la 3-sphère possède des représentations irréductibles dans SL(2,C).

Ce résultat utilise la théorie de jauge d'instantons (ou de Donaldson). Notre résultat nouveau essentiel est le suivant: Toute isotopie de la variété de représentations SU(2) d'un tore, si elle préserve le volume, peut-être C^0-approximé par des applications qui découlent géométriquement par des perturbations holonomiques de l'équation de platitude dans un tore épaissi.

The collapse transition of self-interacting random walks is a challenging issue, arising in the study of an homopolymer dipped in a repulsive solvent. Different mathematical models have been built by physicists to try and improve their understanding of this phenomenon. For such models, the possible spatial configurations of the polymer are provided by self-avoiding walk trajectories. However, self avoiding walks, especially in dimension 2 and 3, are complicated objects.

This is the reason why, in the mathematical literature, collapse transition models were rather built by either relaxing the self-avoiding feature of the walk or by considering partially directed path. In our main result, we prove the existence of a collapse transition for a non-directed model built with prudent paths, i.e., non-directed self-avoiding paths which can not take a step towards a previously visited lattice site. The prudent self-avoiding walk has attracted the attention of the combinatorics community over recent years and an open problem is to find out the exponential growth rate of the set of prudent paths. As a by product of our results we are able to solve this problem.

In the first part of the talk we discuss the main models already studied in the literature, while in the second part of the talk we present our main results.

The presentation will be kept at an elementary level: only a basic probabilistic background is assumed.

(Joint work with Nicolas Pétrélis)

The homology groups of a manifold give a lower bound on the number of handles in a handle decomposition (or even on the cells of a CW decomposition). We use Casson-Gordon signatures to improve on this bound for rational homology 4-balls bounding a given rational homology 3-sphere. In turn, this gives information about slice and ribbon discs for knots in the 3-sphere. This is joint work with Paolo Aceto and Ana Lecuona.