Le problème de classifier des objets (espaces, représentations, faisceaux...) à moins d'isomorphisme est la plus part du temps intractable, et le mieux qu'on puisse faire est de se contenter de relations d'équivalence beaucoup plus faibles que l'isomorphisme. Depuis les années 90's, dans plusieurs domaines des mathématiques des solutions ont été trouvées ayant la forme d'une classification des sous-catégories épaisses d'une catégorie triangulée ; grosso-modo, il s'agit donc de classifier les objets d'intérêt "à opérations homologiques près". Les premiers résultats concernent les spectres finis en topologie (par Devinatz-Hopkins-Smith), les complexes parfaits sur un anneau commutatif ou sur un schéma en géométrie algébrique (Hopkins-Neeman-Thomason), et les representations d'un groupe fini en théorie de la représentation modulaire (Benson-Carlson-Rickard). D'autres résultats similaires ont été prouvés ensuite, et des théories ont été bâties pour unifier les méthodes (notamment par Balmer, Hovey-Palmieri-Strickland et Benson-Iyengar-Krause), mais à chaque fois les preuves restent difficiles.

Après avoir expliqué ce cercle d'idées, je présenterai des traveaux en commun avec Don Stanley montrant comme, dans certains cas, on peut obtenir de telles classifications par des méthodes purement formelles et donc sans beaucoup d'effort. Ce résultat abstrait s'applique par exemple à la catégorie dérivée de dg-algèbres et spectres en anneaux commutatifs don't la cohomologie (resp. l'homotopie) est suffisamment régulière.

Dans cet exposé nous décrirons un moyen de dériver de façon systématique la représentation sous incertitude d’un écoulement fluide aux grandes échelles. Cette incertitude, encodée sous la forme d’un champs de variables aléatoires, représente les effets des petites échelles négligées dans la représentation grande échelle. Le système dynamique représentant l’évolution des grandes échelles est obtenu au moyen d’une représentation stochastique du théorème de transport de Reynolds. Cette représentation permet, comme dans le cas déterministe, une dérivation systématique du système stochastique recherché. Nous passerons ainsi en revu et discuterons la représentation sous incertitude d’un certain nombre de systèmes classiques.

In this talk we show two theorems on stabilization of (achiral) Lefschetz fibrations under fiber summing with copies of a `universal' Lefschetz fibration. In particular the first of our stabilization theorems is a generalization of the theorem of Auroux. For proofs of these theorems, we employ a certain labeled finite graph, called a chart, in a closed oriented surface for describing the monodromy of a(n achiral) Lefschetz fibration over the surface. Applying charts and their moves with respect to Wajnryb's presentation of mapping class groups, we generalize a signature formula for Lefschetz fibrations over the 2-sphere obtained by Endo and Nagami to that for Lefschetz fibrations over arbitrary closed oriented surface. This formula is crucial for the proof of the stabilization theorems. This is a joint work with I. Hasegawa, S. Kamada, and K. Tanaka.

Grâce aux travaux de P. Biran sur les polarisations, on peut construire au-dessus d’une lagrangienne monotone de CP^n un fibré en cercles qui est une lagrangienne monotone de C^{n+1}. Cette dernière est en particulier déplaçable, et les travaux de M. Damian sur l’homologie de Floer relevée permettent d’extraire, sur ce fibré, des contraintes topologiques. À l’aide de la technique « d’allongement du cou », on peut ensuite relier l’homologie de Floer relevée de la lagrangienne de départ à celle du fibré en cercles, ce qui permet de rapatrier ainsi les contraintes topologiques sur la première lagrangienne.

c'est une conjecture d'Arnol'd au sujet des singularités de la projection sur la sphère S^2 d'une courbe Legendrienne dans le projectivisé du cotangent de S^2. Elle dit qu'un déformation Hamiltonienne générique de la fibre au-dessus d'un point de S^2 a au moins trois cusps. On en expliquera une preuve qui utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara et Schapira, après quelques rappels sur les faisceaux.

Résumé : Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les propriétés de certaines fonctions aléatoires issues de la géométrie. Un exemple typique est le suivant : si $\lambda$ est une grande valeur propre du laplacien sur la sphère $S^2$, l’espace propre correspondant est de grande dimension, et on peut y choisir une fonction propre aléatoirement suivant la mesure gaussienne standard ; on s’intéresse alors aux propriétés asymptotiques de cette fonction $\phi\lambda$ dans la limite $\lambda \to \infty$. En particulier, on peut se demander quelle est la structure du domaine ${z : \phi\lambda(z) > 0}$ : est-il formé d’une multitude de petites composantes connexes, ou bien comporte-t-il une composante dont la taille reste d’ordre $1$ pour $\lambda$ grand ? Cette question précise reste ouverte, mais j’expliquerai comment on peut appliquer des méthodes issues de la théorie de la percolation pour l’attaquer, et obtenir des résultats pour des modèles reliés.

Travail effectué avec Damien Gayet (Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes).

Et deux illustrations, ci-jointes : la première c’est l’un des modèles reliés dont je parlerai (et que je définirai proprement mais c’était difficile à faire dans un résumé), et la seconde c’est une réalisation de la percolation critique sur le réseau carré. Dans les deux cas, la composante connexe de l’origine est coloriée en rouge.

In this talk we analyse the spectrum of the dissipative Schrödinger operator on binary tree-shaped networks. As applications, we study the stability of the Schrödinger system using a Riesz basis as well as the transfer function associated to the system. Moreover, we study the dispersive effects associated to the Schrödinger operator with potential on star-shaped network and to the free Schrödinger operator on a tadpole graph.

In this talk, the dissipative wave equations in an outside of compact regions with smooth boundary are treated. Assume that the dissipation coefficient depends only on the space variable. First, in this setting, a sufficient condition showing uniformly decaying estimates of the local energy is given. As an application of this condition, a decaying estimate of the local energy near the boundary is obtained if the dissipation coefficient is positive near concave part of the boundary in some sense. Second, the cases that the dissipation coefficient is not small in far field are considered. In this case, an optimal decay of the total energy corresponding to the decay rate for high frequency waves is discussed.