The collapse transition of self-interacting random walks is a challenging issue, arising in the study of an homopolymer dipped in a repulsive solvent. Different mathematical models have been built by physicists to try and improve their understanding of this phenomenon. For such models, the possible spatial configurations of the polymer are provided by self-avoiding walk trajectories. However, self avoiding walks, especially in dimension 2 and 3, are complicated objects.

This is the reason why, in the mathematical literature, collapse transition models were rather built by either relaxing the self-avoiding feature of the walk or by considering partially directed path. In our main result, we prove the existence of a collapse transition for a non-directed model built with prudent paths, i.e., non-directed self-avoiding paths which can not take a step towards a previously visited lattice site. The prudent self-avoiding walk has attracted the attention of the combinatorics community over recent years and an open problem is to find out the exponential growth rate of the set of prudent paths. As a by product of our results we are able to solve this problem.

In the first part of the talk we discuss the main models already studied in the literature, while in the second part of the talk we present our main results.

The presentation will be kept at an elementary level: only a basic probabilistic background is assumed.

(Joint work with Nicolas Pétrélis)

The homology groups of a manifold give a lower bound on the number of handles in a handle decomposition (or even on the cells of a CW decomposition). We use Casson-Gordon signatures to improve on this bound for rational homology 4-balls bounding a given rational homology 3-sphere. In turn, this gives information about slice and ribbon discs for knots in the 3-sphere. This is joint work with Paolo Aceto and Ana Lecuona.

Je présenterai tout d'abord les différents types de circulations océaniques et leur lien avec les changements climatiques. Puis je parlerai brièvement des différents modèles mathématiques de l'océan ayant vu le jour dans les 50 dernières années. L'analyse portera principalement sur le modèle de Saint-Venant qui permet de simuler la propagation d'ondes typiques : Kelvin, Inertie-gravité, Rossby, impliquées dans le phénomène El Nino. La plupart des méthodes numériques utilisées pour résoudre les équations de Saint-Venant conduisent à l'apparition de solutions non physiques et/où à des problèmes de dispersion/dissipation dans la représentation des ondes. Après un survol de ces difficultés, je montrerai que la méthode de Galerkin discontinue, selon le choix du flux numérique, possède de bonnes propriétés pour bien résoudre les écoulements océaniques. Les travaux analytiques seront illustrées par la simulation numérique de tourbillons océaniques (Gulf Stream) et d'ondes équatoriales.

Je présenterai la problématique de l'approximation de la distribution invariante d'Equations aux Dérivés Partielles Stochastiques (EDPS), de type parabolique, semilinéaires, et des techniques d'analyse de l'erreur de discrétisation en temps et en espace. En utilisant des travaux récents concernant le cas des Equations Différentielles Stochastiques (EDS), je présenterai un nouveau schéma pour ces EDPS, qui augmente l'ordre de convergence par rapport à la discrétisation en temps. Enfin, je présenterai les challenges théoriques pour prouver ce résultat en toute généralité. L'exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Gilles Vilmart (Genève).

Les systèmes de réaction-diffusion croisée ont été introduits en dynamique des populations par Shigesada et al. pour tenir compte de l'influence des populations sur les taux de diffusion inter et intra spécifiques (on parle de diffusion croisée et auto-diffusion). Nous nous intéresserons à une gamme de systèmes généralisant ceux de Shigesada et. al. pour lesquels nous établirons un résultat d'existence de solutions faibles globales, en toute dimension d'espace. Ce résultat d'existence repose sur une fonctionnelle d'entropie " cachée " du système et sur un Lemme de dualité de Michel Pierre. On présentera également le schéma d'approximation permettant de conserver la positivité des solutions et les estimations précédentes.