En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie.

En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Les travaux présentés ici s'inscrivent dans une démarche de constructions de schémas numériques permettant de calculer des écoulement à tout nombre de Mach. Le cadre est ici le développement de schémas d'ordre élevé pour les équations d'Euler compressible.

Les schémas sont découplés en temps et une discrétisation spatiale de type maillage décalé est adoptée. Les inconnues scalaires sont définies au centre des cellules d'un premier maillage alors que les inconnues de vitesses sont définies sur un second maillage centré sur les faces du premier. La formulation en énergie interne des équations est utilisée afin de garantir sa positivité et éviter une discrétisation fastidieuse de l'équation de bilan d'énergie total sur un maillage décalé. Un bilan d'énergie cinétique discret est obtenu et un terme source est ajouté dans le bilan d'énergie interne pour retrouver un bilan d'énergie total à la limite. Des techniques d'interpolations d'ordre élevé de type MUSCL sont utilisées dans les opérateurs convectifs discrets. Elles se basent uniquement sur la vitesse matérielle du fluide et permettent de garantir sous condition de CFL la positivité de la masse volumique et de l'énergie interne. On s'assure ainsi que l'énergie totale ne peut croître et on obtient de plus une inégalité d'entropie discrète. Sous des hypothèses de contrôle des normes des solutions discrètes des schémas, on prouve que toute suite convergente de ces solutions va nécessairement converger vers une solution faible des équations d'Euler. De plus elles vérifient une inégalité d'entropie faible à la limite.

The "equivalence principle" (EP) says that meaningful statements in mathematics should be invariant under the appropriate notion of equivalence - "sameness" - of the objects under consideration. In set theoretic foundations, the EP is not enforced; e.g., the statement "1 ϵ Nat" is not invariant under isomorphism of sets. In univalent foundations, on the other hand, the equivalence principle has been proved for many mathematical structures. In this introductory talk, I first give an overview of earlier attempts at designing foundations that satisfy some invariance property. Afterwards I give a brief introduction to the univalent foundations (UF) and present results, both by other and myself, on the validity of EP in UF.

Une troisième séance si besoin

La suite de l'épisode précédent