Dans cet exposé je donnerai une description géométrique de la méthode ``énergie-moment'' pour la démonstration de la stabilité orbitale des èquilibres relatifs de systèmes dynamiques Hamiltoniens en dimension infinie, en présence de symétries multi-dimensionnelles. Je mettrai en évidence l'interaction entre l'analyse fonctionnelle et la géométrie symplectique dans ce contexte. La théorie sera appliquée à la stabilité orbitale des ondes planes pour un système d'équations de Schrödinger non-linéaires sur le tore. (Travail en collaboration avec S. Rota Nodari (Dijon) et F. Genoud (Delft)

L'objet du programme de Calabi est de munir des variétés complexes de métriques "privilégiées". En dimension complexe 1, on dispose de métriques à courbure scalaire constante, mais le problème se complique considérablement dès la dimension 2, et pour obtenir des constructions explicites, on est amené à étudier des cas particuliers ou des classes d'exemples. Dans cet exposé, je présenterai une approche possible du problème : les méthodes de recollement. Ce type de méthode s'applique dans le cas de certaines surfaces de Kähler, que l'on obtient par résolution des singularités d'une variété orbifold. Après avoir présenté le cadre de ces variétés complexes kählériennes, je détaillerai un exemple modèle d'application de la méthode de recollement, d'après un article de Donaldson.

I will describe a geometric chain level construction of a secondary coproduct operation on a suitable chain model for the free loop space of a manifold using the theory of De Rham chains. Such coproduct was described at the level of homology by Goresky and Higston using different methods. It is secondary in the sense that arises from a "1-parameter family of chain level intersections". The chain level theory around this secondary operation is useful for describing certain phenomena in symplectic topology and symplectic field theory. There are analogues of these geometric operations in the algebraic theory of Hochschild complexes of Frobenius algebras described in work by Wahl, Abbaspour, Tradler, Zeinalian, and others. I will discuss a new way of nterpreting both the algebraic loop product and the algebraic secondary coproduct in a single package. This is work in progress with Dingyu Yang (IMJ-PRG) and Zhengfeng Wang (IMJ-PRG).

Nous exposerons comment cette edp bien connue s'interprète (sans dérivées partielles !) comme un flot gradient. D'abord pour la fonctionnelle de Dirichlet pour la métrique L^2, donc en restant dans un cadre hilbertien. Puis pour la fonctionnelle d'entropie pour le métrique W_2 de Wassertstein, donc dans un cadre seulement métrique (et mesuré).

La suite de l'exposé précédent