(Travail commun avec Aaron Lauda et David Rose). Il y a une quinzaine d'années, Khovanov a introduit un invariant homologique qui catégorie le polynôme de Jones. Bien que ce polynôme s'interprète à la fois en termes de théorie des représentations et en termes diagrammatiques, pendant longtemps seule la seconde version a été catégorifiée. J'expliquerai comment, en utilisant le concept d'antidualité de Howe développé par Cautis, Kamnitzer, Morrison et Licata, on peut décrire les catégories de cobordismes utilisées dans l'homologie de Khovanov à partir des groupes quantiques catégorifiés. En retour, cette méthode nous permet de réinterpréter les généralisations sln des catégories de cobordismes dues à Mackaay-Stosic-Vaz, amenant ainsi une description combinatoire et sur Z des homologies de Khovanov-Rozansky.

Dans une série de publications récentes en collaboration avec N. Geer, B. Patureau et C. Blanchet, nous avons construit une nouvelle famille de théories quantiques des champs topologiques (TQFT) aux propriétés prometteuses vis à vis de l'étude des groupes modulaires des surfaces. Ces TQFTs sont indexées par un entier r>1, dit le ``niveau'', et sont définies en appliquant une "construction universelle" à une famille d'invariants de 3-variétés fermées munies avec classes de cohomologie. A leur tour, ces invariants sont définis par chirurgie en partant d'une famille d'invariants d'entrelacs dans la sphère aussi connue comme les "polynôme d'Alexander colorés", parce que, lorsque le niveau est 2, ils coincident avec le polynôme d'Alexander multivariable. Dans cet exposé, après avoir rappelé ce qu'est une TQFT et comment en obtenir une par la construction universelle à partir d'une famille d'invariants de variétés fermées, je détaillerai comment les polynôme d'Alexander colorés sont définis à partir de la théorie des représentations d'une version du groupe quantique Uq(sl2) aux racines de l'unité. Si le temps le permet j'expliquerai enfin comment utiliser ces invariants d'entrelacs et la chirurgie pour obtenir des invariants de variétés fermées.

Nous rapportons sur des résultats de non-unicité, d’unicité et de reconstruction pour le problème de diffusion inverse sans information de phase. Nous sommes motivés par un progrès récent et très essentiel dans ce domaine.

Talk 1: Triangulated surfaces in triangulated categories

Abstract: The symmetries inherent in the structure constants of a Frobenius algebra can be used to associate certain numerical invariants of oriented surfaces. These numbers behave nicely when chopping surfaces into pieces - in technical terms they form a 2-dimensional open topological field theory. In particular, the invariant of a given surface can be computed in terms of a chosen triangulation. In this talk, we explain how certain symmetries in the foundations of homological algebra behave like a Frobenius algebra to the extent that they define invariants of oriented surfaces.

Based on joint work with Mikhail Kapranov. "

" Talk 2: Relative Calabi-Yau structures [Salle Eole, à 14:00]

Abstract: The basic operation of oriented cobordism is to glue two oriented manifolds along a common boundary component to produce a new oriented manifold. In this talk, we discuss a generalization of this procedure to noncommutative geometry: we introduce the concept of a Calabi-Yau structure on a functor of differential graded categories which should be interpreted as an analog of an oriented manifold with boundary. As an application of the resulting theory, we show that topological Fukaya categories of surfaces give rise to a 2D TFT with values in Calabi-Yau cospans of differential graded categories.

Based on joint work in progress with Chris Brav. "

La suite de l'exposé précédent.

Recall that the geometric dimension $gd(G)$ of a group $G$ is the smallest dimension of a space on which $G$ acts in such a way that fixed point sets of finite subgroups are contractible. For many prominent classes of groups (e.g. for amenable groups, lattices in classical Lie groups, mapping class groups, groups of outer automorphisms of free groups...) one has equality between the geometric dimensions and the virtual cohomological dimension. On the other hand, there are some examples showing that these two notions of dimension might well differ. I will present some new examples of this phenomenon. This is joint work with Dieter Degrijse.

The cobordism hypothesis, first formulated by Dolan an Baez in 95', asserts that if we organize the collection of all framed manifolds and framed cobordisms in dimensions 0 through n into a suitable categorical structure, they will form the free symmetric monoidal (infinity,n)-category with duals generated by a single object, namely, the point. This means, in particular, that fully extended topological field theories with value in any other (infinity,n)-category of the same nature are freely determined by the value they associate to the point. In 2009 an expository paper of Jacob Lurie paved the way to a proof of this hypothesis, but many details are still left unwritten. In this talk we will describe the hypothesis and attempt to outline the proof in the 1-dimensional case.