Il est bien connu que le spectre des opérateurs non-normaux peut être très sensible par rapport aux perturbations même extrêmement petites. Nous allons étudier le spectre des grand matrices de Toeplitz non-normales soumis à des petites perturbations aléatoire. En particulier nous nous intéressons au cas du bloc de Jordan et au cas des grandes matrices bi-diagonales. Nous allons discuter quelques résultats récents sûr la répartition des valeurs propres en moyenne et en probabilité obtenu en collaboration avec Johannes Sjöstrand.

Nous nous intéressons au cadre des modèles de Markov partiellement observés (MMPO) et rappelons quelques modèles populaires de séries temporelles qui rentrent dans cette large catégorie. Dans différents travaux menés avec Randal Douc, Tepmony Sim et Jimmy Olsson, nous nous sommes attachés à établir des résultats assez généraux pour montrer la consistance du maximum de vraisemblance et de la loi a posteriori dans un cadre d'inférence bayésienne. Dans le premier cas, nous proposons une approche générale qui s'applique à la diversité des modèles qui rentrent dans le cadre des MMPO, dont beaucoup d'entre eux ont déjà été étudiés mais de façon très spécifique. Dans le second cas, nous tentons aussi de fournir une approche assez générale dans un contexte où les travaux existants semblent beaucoup plus rares. Le point central commun entre ces travaux est l'étude du comportement asymptotique de la statistique du rapport de vraisemblance.

Nous étudions le problème de la réduction de dimension pour l'équation de Gross-Pitaevskii (GPE) décrivant un condensat de Bose-Einstein confiné dans un piège magnétique fortement anisotrope. Puisque le gaz est supposé être dans un régime d'interaction forte, nous devons analyser une combinaison de deux limites singulières : une limite semi-classique dans la direction de transport et une limite de confinement dans la direction transverse. Nous prouvons que les deux limites commutent et donnons les taux de convergences. Nous obtenons comme sous-produit des modèles approchés en dimensions réduites avec des estimations d'erreurs a priori.

Ce travail est le fruit d'une collaboration avec Weizhu Bao et Florian Méhats.

We discuss $h$-pricniple for the solutions to the Monge-Ampère equation in two dimensions. Namely, for a simply connected domain $\Omega\subset \mathbb R^2$, and any data $f: \Omega \to \mathbb R$, we show that the very weak $C^{1,\alpha}$ solutions to the equation

$$ \det D^2 u = f \quad \mbox{in} \,\, \Omega $$

are dense in the set of all continuous functions below the regularity threshold <1/7. We will also prove that the statement fails in the regularity regime $\alpha >2/3$ for the same class of very weak solutions.

This h-principle statement is a consequence of the convex integration methods and parallels similar results such as the Nash-Kuiper $C^1$ isometric embedding theorem and existence of continuous solutions with anomalous dissipation to Euler equations (due to De Lellis and Székelyhidi).

Dans cet exposé, je tacherai d'expliquer quelles sont les notions d'entropies utilisées dans l'étude de systèmes dynamiques équipés d'une mesure invariante (théorie ergodique), et quelques uns de leurs liens entre eux. Je tacherai de l'illustrer en particulier à partir de l'exemple géométrique des flots géodésiques sur les surfaces.

La dualité miroir cohomologique est la propriété $h^{p,q}(X)=h^{3-p,q}(X')$, où $X$ et $X'$ sont deux solides de Calabi-Yau. Elle se manifeste dans le cas de la construction dite de Borcea-Voisin comme une conséquence de la symétrie miroir des surfaces K3 avec involution anti-symplectique. Il s'agit de l'une des premières manifestations de symétrie miroir entre solides de Calabi-Yau, qu'on aimerait bien comprendre dans un cadre unifié. On espère aussi d'aller au delà du simple constat $h^{p,q}(X)=h^{3-p,q}(X')$, vers un énoncé qui met en jeu les nombres -à ce jour presque complètement inconnus- des courbes tracés sur les solides de Calabi-Yau. Dans ce travail, en collaboration avec Kalachnikov et Veniani, on généralise et on démontre la dualité miroir cohomologique pour les couples de type Borcea-Voisin en dimensions quelconque. Comme dans le cas standard, ces couples dérivent de couples miroir de Calabi-Yau avec involution. La méthode est une variante du modèle de Landau-Ginzburg et de la correspondance Landau-Ginzburg/Calabi-Yau. Les modèles de Landau-Ginzburg encodent les informations cruciales des variétés de Calabi-Yau et, dans le cadre classique, jouent le rôle de véhicule entre variétés miroir. Dans ce travail, ces modèles reflètent également la géométrie du lieu fixe de l'involution. On découvre donc au passage des énoncés nouveaux de symétrie miroir qui concernent les courbes sextiques dans P2, les surfaces octiques dans P3, ou les solides de degré 10 dans P4, etc.

Abstract：In this talk we consider the spectral property of a Fokker-Planck operator with potential. By virtue of a multiplier method inspired by Nicolas Lerner, we obtain new compactness criteria for its resolvent, involving the control of the positive eigenvalues of the Hessian matrix of the potential.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un modèle simplifié du problème dynamique de la plasticité parfaite. Dans un premier temps, on présentera le modèle et deux approches possibles pour décrire un tel problème (hyperbolique sous contrainte/variationnelle). On expliquera comment la vision hyperbolique a motivé notre choix de condition de bord. Ensuite, on détaillera comment, grâce à une approche provenant du calcul des variations, il est possible d'obtenir l'existence et l'unicité de solution pour ce problème (en relaxant la condition de bord). Puis, en utilisant des arguments hyperboliques, on démontrera un résultat de régularité en temps courts pour ces solutions. Enfin, on analysera le lien entre les solutions variationnelles et hyperboliques pour ce problème.