La stabilité d'un point fixe totalement elliptique ou d'un tore quasi-périodique invariant d'un système hamiltonien peut être analysée à partir de plusieurs points de vue : la stabilité au sens topologique classique (stabilité de Lyapunov), ou la stabilité au sens probabiliste que considère la théorie KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser), ou la stabilité effective où il s'agit d'étudier la stabilité quantitativement dans le temps. On présentera plusieurs résultats de stabilité et d'instabilité dans ces trois directions.

The Jones representation of the mapping class group of the punctured sphere is constructed by formulating irreducible linear representations of braid groups that factor through Hecke algebras. In this talk we introduce the Jones representation and we show that the normal closure of the m-th power of a half-twist has infinite index in the mapping class group of a punctured sphere. As a corollary we show that the normal closure of a power of a Dehn twist has infinite index in the hyperelliptic mapping class group of a closed surface of genus at least two.

(Travail commun avec Aaron Lauda et David Rose). Il y a une quinzaine d'années, Khovanov a introduit un invariant homologique qui catégorie le polynôme de Jones. Bien que ce polynôme s'interprète à la fois en termes de théorie des représentations et en termes diagrammatiques, pendant longtemps seule la seconde version a été catégorifiée. J'expliquerai comment, en utilisant le concept d'antidualité de Howe développé par Cautis, Kamnitzer, Morrison et Licata, on peut décrire les catégories de cobordismes utilisées dans l'homologie de Khovanov à partir des groupes quantiques catégorifiés. En retour, cette méthode nous permet de réinterpréter les généralisations sln des catégories de cobordismes dues à Mackaay-Stosic-Vaz, amenant ainsi une description combinatoire et sur Z des homologies de Khovanov-Rozansky.