Abstract：In this talk we consider the spectral property of a Fokker-Planck operator with potential. By virtue of a multiplier method inspired by Nicolas Lerner, we obtain new compactness criteria for its resolvent, involving the control of the positive eigenvalues of the Hessian matrix of the potential.

Dans cet exposé, on s'intéressera à un modèle simplifié du problème dynamique de la plasticité parfaite. Dans un premier temps, on présentera le modèle et deux approches possibles pour décrire un tel problème (hyperbolique sous contrainte/variationnelle). On expliquera comment la vision hyperbolique a motivé notre choix de condition de bord. Ensuite, on détaillera comment, grâce à une approche provenant du calcul des variations, il est possible d'obtenir l'existence et l'unicité de solution pour ce problème (en relaxant la condition de bord). Puis, en utilisant des arguments hyperboliques, on démontrera un résultat de régularité en temps courts pour ces solutions. Enfin, on analysera le lien entre les solutions variationnelles et hyperboliques pour ce problème.

Je rappelerai ce que sont les surfaces à courbure moyenne constante (CMC) en géométrie riemannienne « classique » et leurs propriétés notamment en lien avec les systèmes intégrables. Puis nous verrons comment définir une notion de courbure moyenne ou plutôt de surface CMC discrète, et si le temps le permet, comment on se ramène aussi à un système intégrable discret.

Etant donnée une surface compacte avec un bord non vide, nous traiterons de la question suivante : existe-t-il une métrique riemannienne régulière qui maximise la k-ème valeur propre de Steklov sur cette surface ? Nous donnerons également le lien entre ce problème et celui de l'existence de surfaces minimales à bord libre dans une boule.

La théorie des chemins rugueux a été inventée il y a une quinzaine d'années par T. Lyons et pose un cadre nouveau pour l'étude des équations différentielles déterministes contrôlées par des signaux peu réguliers. Itô avait inventé un tel cadre dans les années 40 pour donner un sens et résoudre des équations différentielles stochastiques, contrôlées par un mouvement brownien, étendu depuis dans sa plus grande généralité via la théorie de l'intégrale stochastique. En dépit de sa grande flexibilité, cette notion d'intégrale souffre de l'avantage qui fait sa force : le fait qu'il s'agisse d'une construction purement probabiliste, qui repose dans ses fondements sur la notion de martingale. Les besoins de la modélisation ont cependant fait apparaître la nécessité d'un cadre dans lequel donner un sens et résoudre des équations différentielles de la forme

(1) dy = f(y) dx

pour des signaux xt qui ne soient pas des semi-martingales. C'est un tel cadre qu'offre la théorie des chemins rugueux pour l'étude d'équations déterministes de la forme (1), et dont la morale première est le fait qu'il faut plus que le seul contrôle (xt) pour donner un sens et résoudre l'équation (1). Dans son cadre le plus simple, il faut adjoindre à (xt) la donnée a priori de quantités jouant le rôle des intégrales itérées :de x contre lui-même, dépourvues de sens pour un chemin (xt) trop irrégulier. En contre-partie de cette complication de la notion de contrôle, la solution de (1), lorsqu'elle est unique, s'avère être une fonction continue du contrôle (x,X), un gain formidable lorsqu'on sait que la solution d'une équation différentielle stochastique n'est qu'une fonction mesurable du mouvement brownien, sans qu'il soit possible de dire mieux en toute généralité.

La théorie a maintenant atteint un stade de maturité qui en permet un abord élémentaire. J'en expliquerai une approche possible et décrirai quel genre de bénéfices la continuité de l'application 'solution' apporte.

On obtient une dérivation rigoureuse de l'équation de Boltzmann linéaire sans cut-off en partant d'un système de particules, interagissant via un potentiel à portée infinie, quand le nombre de particules N tend vers l'infini sous le scaling Boltzmann-Grad. La principale difficulté vient du fait que dans notre contexte, à cause de la portée infinie du potentiel, une singularité non intégrable apparaît dans le noyau de collision angulaire, ce qui rend caduc l'utilisation seule de la stratégie de Lanford. Notre preuve repose alors sur une combinaison de la stratégie de Lanford avec des outils développés récemment par Bodineau, Gallagher et Saint-Raymond pour étudier le processus des collisions et de nouveaux arguments de dualité pour étudier les termes additionnels associés à la partie portée infinie qui mènent à des estimations faibles explicites.

Les opérateurs (h-)pseudodifférentiels et de Berezin-Toeplitz apparaissent comme observables quantiques lorsque l'espace des phases est respectivement un fibré cotangent ou une variété symplectique compacte. Une question naturelle est de comprendre quelles informations le spectre de tels opérateurs (dans la limite semi-classique) livre sur le système classique sous-jacent. Je préciserai cette question et j'évoquerai quelques résultats récents, en particulier un travail en collaboration avec Alvaro Pelayo et San Vu Ngoc concernant les systèmes semi-toriques en dimension 4.

Le point de départ de notre exposé est le théorème de Paley-Zygmund (1930) qui permet d'améliorer en probabilité une injection de Sobolev sur le tore. De notre point de vue, ce théorème a engendré trois branches généalogiques assez distinctes : 1) analyse fonctionnelle abstraite (théorie des séries aléatoires dans les espaces de Banach, 1970-80), 2) constructions de solutions globales en régime surcritique à NLS et NLW (années 2000), 3) inspiré du point précédent, études des "injections de Sobolev probabilistes" dans d'autres contextes que le tore (par exemple sphère, fonctions zonales, oscillateur harmonique), années 2000. On se propose de montrer comment adapter des idées d'analyse fonctionnelle des années 70-80 (qui ont abouti à des résultats optimaux) pour retrouver et compléter de façon optimale des problématiques actuelles concernant les injections de Sobolev probabilistes.