Dans une série de publications récentes en collaboration avec N. Geer, B. Patureau et C. Blanchet, nous avons construit une nouvelle famille de théories quantiques des champs topologiques (TQFT) aux propriétés prometteuses vis à vis de l'étude des groupes modulaires des surfaces. Ces TQFTs sont indexées par un entier r>1, dit le ``niveau'', et sont définies en appliquant une "construction universelle" à une famille d'invariants de 3-variétés fermées munies avec classes de cohomologie. A leur tour, ces invariants sont définis par chirurgie en partant d'une famille d'invariants d'entrelacs dans la sphère aussi connue comme les "polynôme d'Alexander colorés", parce que, lorsque le niveau est 2, ils coincident avec le polynôme d'Alexander multivariable. Dans cet exposé, après avoir rappelé ce qu'est une TQFT et comment en obtenir une par la construction universelle à partir d'une famille d'invariants de variétés fermées, je détaillerai comment les polynôme d'Alexander colorés sont définis à partir de la théorie des représentations d'une version du groupe quantique Uq(sl2) aux racines de l'unité. Si le temps le permet j'expliquerai enfin comment utiliser ces invariants d'entrelacs et la chirurgie pour obtenir des invariants de variétés fermées.

Nous rapportons sur des résultats de non-unicité, d’unicité et de reconstruction pour le problème de diffusion inverse sans information de phase. Nous sommes motivés par un progrès récent et très essentiel dans ce domaine.

Talk 1: Triangulated surfaces in triangulated categories

Abstract: The symmetries inherent in the structure constants of a Frobenius algebra can be used to associate certain numerical invariants of oriented surfaces. These numbers behave nicely when chopping surfaces into pieces - in technical terms they form a 2-dimensional open topological field theory. In particular, the invariant of a given surface can be computed in terms of a chosen triangulation. In this talk, we explain how certain symmetries in the foundations of homological algebra behave like a Frobenius algebra to the extent that they define invariants of oriented surfaces.

Based on joint work with Mikhail Kapranov. "

" Talk 2: Relative Calabi-Yau structures [Salle Eole, à 14:00]

Abstract: The basic operation of oriented cobordism is to glue two oriented manifolds along a common boundary component to produce a new oriented manifold. In this talk, we discuss a generalization of this procedure to noncommutative geometry: we introduce the concept of a Calabi-Yau structure on a functor of differential graded categories which should be interpreted as an analog of an oriented manifold with boundary. As an application of the resulting theory, we show that topological Fukaya categories of surfaces give rise to a 2D TFT with values in Calabi-Yau cospans of differential graded categories.

Based on joint work in progress with Chris Brav. "

La suite de l'exposé précédent.

Recall that the geometric dimension $gd(G)$ of a group $G$ is the smallest dimension of a space on which $G$ acts in such a way that fixed point sets of finite subgroups are contractible. For many prominent classes of groups (e.g. for amenable groups, lattices in classical Lie groups, mapping class groups, groups of outer automorphisms of free groups...) one has equality between the geometric dimensions and the virtual cohomological dimension. On the other hand, there are some examples showing that these two notions of dimension might well differ. I will present some new examples of this phenomenon. This is joint work with Dieter Degrijse.

The cobordism hypothesis, first formulated by Dolan an Baez in 95', asserts that if we organize the collection of all framed manifolds and framed cobordisms in dimensions 0 through n into a suitable categorical structure, they will form the free symmetric monoidal (infinity,n)-category with duals generated by a single object, namely, the point. This means, in particular, that fully extended topological field theories with value in any other (infinity,n)-category of the same nature are freely determined by the value they associate to the point. In 2009 an expository paper of Jacob Lurie paved the way to a proof of this hypothesis, but many details are still left unwritten. In this talk we will describe the hypothesis and attempt to outline the proof in the 1-dimensional case.

Depuis la fondation du « modèle standard de la physique des particules » dans les années 1960, la physique théorique a su mettre à profit de façon étonnante la théorie des représentations des algèbres de Lie. Dans cet exposé je montrerai comment la théorie des systèmes de poids d'une représentation permet de modéliser la façon dont interagissent les particules élémentaires (électrons, photons, quarks, etc.). Après une brève introduction au modèle standard de la physique des particules, j'exposerai quelques concepts de la théorie des systèmes de poids d'une algèbre de Lie et ferai des calculs explicites dans les cas des algèbres su(2) et su(3). Nous verrons ensuite comment ces résultats peuvent être appliqués à la théorie de l'interaction faible et forte des quarks avant de conclure sur le cas de l'algèbre so(3,1) et le théorème spin-statistique.

Dans ce travail, nous nous intéressons au problème du comportement en temps grand des solutions d'équations de Fokker-Planck. Nous traitons plusieurs familles d'équations qui correspondent à différents types de diffusion (classique, fractionnaire ou discret). Les équations discrète et fractionnaire convergent en un certain sens vers l'équation de Fokker-Planck classique. Nous traitons donc dans un même cadre, d'une part les équations de Fokker-Planck discrète et classique et d'autre part les équations fractionnaire et classique. Nous obtenons un résultat de convergence vers l'équilibre exponentiel avec taux de décroissance uniforme en le paramètre qui permet de passer de l'équation discrète ou fractionnaire vers l'équation classique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Stéphane Mischler.