Résumé : "Grothendieck considérait que la notion de topos était, avec celle de motif, la notion la plus importante qu'il ait introduite en mathématiques, et il s'est plaint amèrement qu'elle ait été négligée et dénigrée après son départ de la communauté scientifique. Le but de l'exposé sera d'expliquer ce que sont les topos de Grothendieck et d'illustrer comment ils se relient à de nombreuses parties des mathématiques, bien au-delà de leur rôle classique de pourvoyeurs d'invariants cohomologiques. L'exposé mettra l'accent sur la dualité entre les topos et les sites, telle qu'elle est exploitée dans les travaux d'une jeune mathématicienne qui a repris l'étude générale des topos de Grothendieck et de leurs applications, Olivia Caramello, et aussi dans certains travaux récents d'Alain Connes. On cherchera en particulier à montrer comment les topos peuvent devenir un moyen d'exploration mathématique."

Résumé : Entre 1895 et 1904, Henri Poincaré a fondé la topologie algébrique (alors appelée Analysis situs) en publiant une série de six mémoires révolutionnaires. Ces textes fondateurs sont écrits dans le style inimitable de Poincaré : les idées abondent… et côtoient les erreurs... L’ensemble représente un peu plus de 300 pages de mathématiques exceptionnelles et, 120 ans plus tard, le contenu de ces mémoires reste non seulement d’actualité mais constitue un passage très recommandé pour tout apprenti topologue, comme l’explique Henri Paul de Saint-Gervais dans un travail récent que nous essaierons de présenter.

Les hypersurfaces réelles de C^{n+1} peut être munies, via les équations de Cauchy-Riemann, d'une structure géométrique naturelle, dite \textit{CR}. Lorsque la variété CR considérée est \textit{strictement pseudoconvexe}, cette structure est de contact, et ce cas engendre une théorie présentant de fortes analogies avec la géométrie conforme. La résolution du problème de Yamabe CR par Jerison, Lee, Gamara et Yacoub permet d'extraire un invariant de contact global similaire à l'invariant $\sigma$ introduit dans le cadre conforme par Schoen et Kobayashi. Après des rappels de géométrie CR, je présenterai quelques propriétés et conjectures liées à cet invariant.

Abstract: String Theory is the most promising candidate for a theory describing all fundamental physics. Its postulate that everything in the universe is made out of tiny vibrating strings reconciles the two main pillars of modern physics: Einstein’s theory of General Relativity and quantum theory. This allows for the first time to address questions in both quantum gravity and particle physics in one unified framework. We will discuss the physical consequences and predictions of String Theory. String Theory provides new concepts and an unexpected perspective on physics. One of its key insights is the translation of physical questions to mathematics, including geometry and number theory. We will show how this allows to efficiently study quantum field theory in general and particle physics models in particular. We will conclude with a topic that has gained much recent attention: F-theory, which is the broadest approach to study String Theory and which has rich particle physics.

La dynamique des solutions de l'équation des vagues dépend de plusieurs paramètres physiques, dont l'amplitude des vagues relativement à la profondeur. Le régime "toit rigide" pour cette équation s'obtient en faisant tendre ce dernier paramètre vers 0. Il se trouve que les solutions dans cette limite sont nulles, et que la convergence des solutions du système initial est faible mais non forte dans cette limite. On met en évidence ce défaut de convergence.

Families of groups such as symmetric groups, braid groups, general linear groups, mapping class groups of 2- or 3-dimensional manifolds, or Higman-Thompson groups share the following stability phenomenon: the homology of the nth group in the sequence is isomorphic to that of the (n+1)st group in a range of degrees increasing with n. This phenomemon is called homological stability.

In this series of talks, I will give an introduction to homological stability, showing what the above examples have in common. I'll explain through the framework of homogeneous categories how the question of stability boils down to the question of high connectivity of certain simplicial complexes and give an idea of how these connectivity results are proved in different examples.

Les solutions de lois de conservation, pour être admissibles et stables, doivent vérifier une infinité d’inégalité d’entropie. On s’intéressera dans cet exposé à montrer comment approcher ces solutions par des schémas numériques (explicites en temps et d’ordre un), en reliant notamment la notion de monotonie et différents critères de stabilité. On peut s’attendre à des notations un peu lourdes parfois, en particulier pour des discrétisations non structurées du cas multidimensionnel, mais de belles simulations seront aussi présentées.

On décrit, en limite semiclassique, l'évolution des états cohérents et des valeurs moyennes des observables usuels (champ électromagnétique, spins, nombre de photons), et l'état fondamental, pour un modèle de l'interaction de spins immobiles et de photons, en présence d'un champ magnétique constant.