On voudrait comprendre la géométrie d'un espace à partir de sa géométrie infinitésimale. Pour cela je commencerai par esquisser et motiver la notion de convergence au sens de Gromov-Hausdorff. Je donnerai ensuite des exemples d'espaces singuliers et d'expliquer comment ces exemples sont des limites d'objets " réguliers". La géométrie infinitésimale est celle que l'on obtient en zoomant autour d'un point et passant à la limite et la dernière partie de l'exposé sera consacrée aux outils permettant de décrire la géométrie à partir de la géométrie infinitésimale.

Apparue au 19ème siècle avec notamment les travaux de W. Hamilton, la géométrie symplectique a pris un rôle prépondérant dans la description mathématique de la mécanique moderne. Le but de cet exposé est d'en expliquer quelques notions fondamentales, en exploitant plusieurs exemples issus de divers domaines de la physique, tels que l'optique géométrique, la mécanique analytique ou encore la thermodynamique. On verra aussi en quoi la géométrie symplectique donne un cadre adapté à l'étude des liens entre symétries, invariants et intégrabilité d'un système, dans la continuité des théorèmes de E. Noether et J. Liouville.

It is nowadays trendy to count not any more with positive integers (as complex people do) nor with integers (as real people do), but with quadratic forms. This talk will address the problem of enumerating rational curves in algebraic surfaces from this quadratic point of view. I will give a conjectural expression of these geometric quadratic invariants only in terms of Gromov-Witten and Welschinger invariants. In other words quadratic invariants over any field should be determined by the two special fields C and R. This is a joint work with Johannes Rau and Kirsten Wickelgren.

In 1979, Litherland proved that torus knots are linearly independent in the concordance group. We study a higher-dimensional version of this problem, by considering links of Brieskorn-Pham singularities. This is joint work in progress with our very own Oğuz Şavk.

Dans cet exposé, nous étudions le spectre du Laplacien magnétique dans des domaines extérieurs du plan, avec conditions aux limites de Neumann et champ magnétique uniforme. Pour le complémentaire d'un disque, nous établissons des asymptotiques précises des premières valeurs propres dans la limite de champ magnétique faible. Pour des domaines étoilés plus généraux, nous obtenons une borne supérieure asymptotique sur la plus petite valeur propre, faisant intervenir un moment géométrique de la frontière — résultat optimal dans le cas du disque. De plus, nous montrons que pour des champs magnétiques modérés, le complémentaire du disque réalise un maximum local pour la plus petite valeur propre sous contrainte de moment.

Travail en collaboration avec Vladimir Lotoreichik (Prague) et Mikael Sundqvist (Lund).

Dans le domaine des interactions fluide/solide, une question cruciale est la description de l'écoulement d'un fluide confiné entre deux surfaces solides en mouvement. Dans ce contexte, il est d'usage de considérer le problème de Stokes stationnaire de la mécanique de fluide complété par des conditions aux bords reproduisant le déplacement des deux surfaces et il s'agit d'obtenir un développement asymptotique de la solution quand la distance entre les deux surfaces tend vers 0.

Dans cet exposé, je présenterai une méthode variationnelle permettant de discuter l'asymptotique de la solution du problème de Stokes dans les cas bidimensionnels et tridimensionnels. Nous verrons que ces différents cas recèlent des difficultés différentes inhérentes aux propriétés des champs de vecteurs à divergence nulle dans chaque dimension. Le contenu de ce travail est le fruit de collaborations avec E. Bocchi, D. Bonheure, C. Patriarca et G. Sperone.

We prove the quilted Floer cochain complexes form A infinity n-modules over the Fukaya category of Lagrangian correspondences. Then we prove that when we restrict the input to mapping cones of product Lagrangians and graphs, the resulting bar-type complex can be identified with bar complex from ordinary Floer theory. As an application we use a family version of quilt unfolding argument to prove two long exact sequences conjectured by Seidel that relates the Lagrangian Floer cohomology of a collection of (possibly intersecting) Lagrangian spheres and the fixed point Floer cohomology of composition of Dehn twists along them.