Nous allons nous intéresser aux variables aléatoires de la forme Pn((Xi)i≥1), où : (i) (Pn)n≥1 est une suite de polynômes multivariés, chacun avec un nombre possiblement dénombrable de variables ; (ii) il existe une constante D≥1 telle que pour tout n≥1, le degré de Pn est borné par D ; (iii) (Xi)i≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant une moyenne nulle, une variance 1 et des moments finis à tout ordre.

Nous présenterons d'abord différents contextes où ces objets apparaissent naturellement: décomposition de Wiener pour des fonctionnelles d'un champ Gaussien, décomposition de Walsh pour des fonctions booléennes ou encore la décomposition Anova de Hoeffding puis donnerons quelques exemples d'utilisation récents de ces objets en physique statistique, théorie des graphes, géométrie aléatoire ou encore sciences sociales.

L'objectif principal de l'exposé est de présenter la résolution d'une question ouverte dans ce domaine de recherche consistant à classifier toutes les limites possibles en loi pour ce type de variables aléatoires.

Références: (liens arxiv)

-https://arxiv.org/abs/math/0503503

-https://arxiv.org/abs/2203.02850

-https://www.mathnet.ru/links/8acff9ba19ee0ead6e448b77afbcde60/rm9721_eng.pdf

Open book decompositions—known in various contexts as global Poincaré–Birkhoff sections, relative mapping tori, Milnor fibrations, fibered links, and spinnable structures—have arisen independently across several areas of mathematics. Introduced by Thurston and Winkelnkemper, they became a central tool in 3-dimensional contact topology through the groundbreaking work of Giroux, who established a one-to-one correspondence between contact structures up to isotopy and open book decompositions up to positive stabilization.

The strength of this correspondence lies in its combinatorial nature: an open book is determined by a mapping class group element of a surface with boundary, which in turn can be expressed in terms of Dehn twists along simple closed curves. As a result, problems in contact topology can be translated into combinatorial questions about curves on surfaces. This perspective enables explicit computations and offers a powerful framework for proving structural results.

In this talk, I will sketch a proof of the Giroux correspondence using the interplay between open book decompositions and Heegaard splittings. This is joint work with Joan Licata.

Soit $(Zk)$ une suite de variables aléatoires complexes indépendantes et identiquement distribuées de distribution commune $\mu$ et soit $Pn(X):=\prod{k=1}^n (X-Zk)$ le polynôme aléatoire associé dans $\mathbb C[X]$. En 2015, Z. Kabluchko a établi le résultat remarquable et inconditionnel qui affirme que la mesure empirique $\nun$ associée aux points critiques de $Pn$ converge faiblement en probabilité vers la mesure de base $\mu$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment renforcer cette convergence en probabilité en une convergence presque sûre. Nous évoquerons aussi le cas des zéros des dérivées d'ordres supérieurs. Travaux en commun avec D. Malicet et G. Poly.

Pour la bibliographie, on pourra consulter ces références : https://doi.org/10.1112/blms.12963 https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12258-1 https://doi.org/10.1214/24-ECP596

In this talk, we address the stability problem of the famous Brascamp-Lieb inequality for striclty log-concave probability measures on the Euclidean space. More precisely, if a given function almost satisfies the equality in the BL inequality, is it true that it is close in some sense to the underlying extremal functions ? Using a spectral interpretation of the BL inequality, we prove that the distance to the extremal functions in quadratic norm is of order square root of the deficit parameter and involves the second positive eigenvalue of a convenient diffusion operator we wish to estimate. Our results are illustrated by some examples for which the usual uniform convexity assumption on the potential is relaxed. This is a joint work with M. Bonnefont (Institut de Mathématiques de Bordeaux) and J. Serres (Institut de Mathématiques de Toulouse).

En recollant les côtés opposés d'un carré on obtient un tore muni d'une métrique plate héritée de la métrique euclidienne du plan. De la même façon, on peut créer des surfaces de genre plus grand en recollant des côtés parallèles de plusieurs carrés. Ces "surfaces à petits carreaux" sont naturellement munies d'une métrique plate à singularités coniques. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie de ces surfaces (et de familles plus générales de surfaces plates) en grand genre (travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich). J'expliquerai également comment on peut interpréter ces résultats en terme de courbes fermées sur les surfaces, et en termes de méandres.

An element $g$ of an abstract group $G$ is a distortion element if there exists a finite family $S$ in $G$ such that $g\in\langle S\rangle$ and the word-length of $g^n$ (w.r.t. $S$) grows sublinearly in $n$. This is a very general group theoretic notion, but does it have a dynamical interpretation when $G$ is a group of diffeomorphisms? In this talk, we will focus on diffeomorphisms of the closed interval in different regularities. In particular, we will present some natural obstructions to distortion (such as the presence of hyperbolic fixed points in $C^1$ regularity and the positivity of the so-called asymptotic variation in $C^2$ regularity (and higher)), and we will wonder whether they are the only ones.