Des cristaux à la forme de notre univers, en passant par les structures du vivant, des questions de symétries se posent à toutes les échelles d'organisation de la matière, mathématiquement souvent en termes d'isométries ou de théorie des groupes. La statistique directionnelle est justement l'étude des données provenant d'objets "naturels" autres que la droite réelle, comme les sphères et les graphes, les groupes de Lie, où un simple calcul de moyenne requiert l'utilisation de technique et fonctions "spéciales".

Qu'est-ce qu'une fonction spéciale ? Les premières sont les sept familles de polynômes orthogonaux classiques, continus ou discrets. Le point de vue initié par E. Cartan, développé par N. Ya. Vilenkin, relie des fonctions spéciales plus générales à la théorie de la représentation des groupes, outil né des questions de symétrie, donc doublement adapté a ce domaine de la statistique directionnelle qui nous intéresse.

Notre outil principal est fourni par les développements de Karhunen-Loève, qui, faisant intervenir des fonctions spéciales et des noyaux de covariance, sont à l'intersection des statistiques (composantes principales, distributions asymptotiques), probabilités (espaces gaussiens, à noyau auto-reproduisant) et de l'analyse (Théorème de Mercer).

Nous tenterons d'illustrer ces questions à travers nos publications des six dernières années : par des problèmes aussi concrets que les vides de l'univers (collaboration avec E. Russel), la stratégie de course au Marathon (collaboration avec V. Billat), puis les tests d'adéquations sur des variétés ou graphes 2-point homogènes, et enfin le problème plus abstrait d'une identité de duplication de G. Watson sur le cercle (étudiée par M. Yor et Z. Shi), dont nous esquissons une généralisation, objet de nos travaux actuels.
Un problème concernant la loi des grands nombres, posé par D. Pierre-Loti-Viaud, sera évoqué.

Les trajectoires géodésique sur une variété Riemannienne à courbure strictement négative sont très chaotiques: elles ont la propriété de mélange qui est que toute mesure de probabilité lisse sur l’espace des phases transportée par la dynamique évolue (au sens faible) vers la mesure uniforme de Liouville, appelée équilibre. On s’intéressera aux fluctuations autour de cet équilibre, i.e. aux termes suivant dans une expansion asymptotique en temps longs. On expliquera que ces fluctuations sont gouvernées par l’équation des ondes. Cette propriété un peu surprenante est déjà sous-jacente à la théorie de Selberg (formule des traces) qui relie les trajectoires périodiques aux spectre du Laplacien sur les surfaces hyperboliques. Les techniques et mécanismes sont l’analyse micro-locale, les espaces de Sobolev anisotropes et les spineurs symplectiques. Collaboration avec Masato Tsujii.

Je discuterai d'un travail en collaboration avec Yann Chaubet et Daniel Han-Kwan. Nous nous sommes intéressés à la dynamique en temps long de l'équation de Vlasov non-linéaire sur une variété à courbure négative lorsque le noyau d'interaction est lisse. J'expliquerai que, pour des petites données initiales lisses et supportées loin de la section nulle, les solutions de cette équation convergent à vitesse exponentielle vers un état d'équilibre du problème linéaire.