The method of moments is commonly used to reduce a kinetic equation into a fluid model. In this talk, I will present this technique as a semi-discretization with respect to the kinetic variable. I will focus on the main properties expected for this approximation, namely the positivity of an underlying kinetic approximation, a.k.a. the realizability, the strong or weak hyperbolicity and the entropy dissipation of the resulting system. I will present some novelties around these approximations, classified in three categories: the quadrature-based methods, the entropy-based methods and the realizability-based methods. Eventually, I will give some ideas on how to analyze such approximations and illustrate it on some kinetic toy problems.

Le but de cet exposé est de mieux comprendre les relations entre la contrôlabilité exacte des EDP non linéaires et la théorie du contrôle des EDO, basée sur les crochets de Lie, à travers l'étude de l'EDP de Schrödinger avec contrôle bilinéaire.
Nous nous concentrons sur la contrôlabilité locale en temps réduit (STLC) autour d'un équilibre, lorsque le système linéarisé n'est pas contrôlable. Nous étudions le terme d'ordre 2 dans le développement de Taylor de l'état, par rapport au contrôle.
Pour les EDO avec un seul contrôle scalaire, les termes quadratiques ne permettent jamais de retrouver la contrôlabilité : ils induisent des dérives signées dans la dynamique. Ainsi, pour prouver la STLC, il faut aller au moins jusqu'au troisième ordre. Des résultats similaires ont été prouvés par Mégane Bournissou pour l'EDP bilinéaire de Schrödinger avec contrôle scalaire.
Dans cet exposé, nous nous concentrons sur des systèmes avec plusieurs contrôles scalaires. Nous clarifions, parmi les crochets de Lie quadratiques, ceux qui permettent de récupérer de la contrôlabilité : ils sont bilinéaires par rapport à 2 contrôles différents. Pour les EDO, ce résultat est une conséquence de la condition suffisante de Sussman S(θ), mais nous proposons une nouvelle preuve, conçue à préparer le transfert aux EDP. Cette preuve repose sur une nouvelle formule de représentation de la solution, inspirée de la formule de Magnus. En l'adaptant, nous prouvons un nouveau résultat de STLC pour l'EDP de Schrödinger bilinéaire.

L'étude des sommes de variables aléatoires i.i.d est un sujet largement étudié depuis le début du 20e siècle. Les résultats les plus connus sont probablement la loi forte des grands nombres et le théorème central limite. Le premier montre que sous l'hypothèse de l'existence d'une espérance finie, la moyenne empirique d'une somme de variables aléatoires converge P-p.s. vers l'espérance de la loi. Le deuxième montre que sous l'existence d'un moment d'ordre 2, la somme partielle d'ordre n recentrée et renormalisée par n^{1/2} converge en loi vers une loi normale centrée. Dans ce séminaire, je présenterai différents résultats qui améliorent la compréhension voire généralisent ces théorèmes à des familles de v.a. plus larges. Enfin je tenterai de répondre à la question suivante : à quelle vitesse une somme de variables i.i.d. positives à densité sort-elle de tout compact ?

Les modèles hydrodynamiques pour la fusion par confinement inertiel doivent être fermés en four-
nissant une loi pour le flux de chaleur des électrons. Dans la plupart des cas hors-équilibre, la loi
locale de Spitzer-Härm est insuffisante pour restituer l’ensemble des phénomènes physiques. En effet,
la présence de forts gradients de température engendre l’apparition de flux de température non locaux
qui rendent cette approche macroscopique incomplète. Pour restituer cet effet cinétique, la résolution
d’une équation cinétique coûteuse à l’échelle microscopique serait requise. Néanmoins, du fait des
situations physiques considérées, des modèles à l’échelle mésoscopique [1, 2] s’avèrent suffisants. En
particulier, une approche aux moments permet de répondre à ces besoins de modélisation et de réduire
le coût numérique ; d’autre part, l’utilisation d’un tel modèle hyperbolique, du fait de sa construction,
présente l’avantage d’être suffisamment flexible pour y ajouter une physique plus complexe (champs
magnétiques par exemple).

Dans ce travail, nous nous concentrons sur la résolution numérique du modèle M1 du transport ther-
mique non local sans champ magnétique. La nature multi-échelle de ce modèle rend l’élaboration d’un
schéma numérique difficile en termes de préservation de l’asymptotique pour capter les différents ré-
gimes en fonction du nombre de Knudsen. Pour traiter ce problème, nous nous proposons d’utiliser
UGKS (Unified Gas Kinetic Schema) [3, 4] ; un schéma robuste pour l’équation cinétique reposant sur
la solution intégrale de l’équation cinétique pour élaborer les flux. Cette méthode présente l’avantage
de préserver l’asymptotique de l’équation en résolvant correctement à la fois le régime non local associé
à du transport (hyperbolique) et le régime local associé à de la diffusion (parabolique). Pour obtenir
un schéma pour le modèle aux moments, une méthode générique est proposée dans laquelle le flux
numérique d’UGKS est fermé avec la fonction de distribution M1. Cette technique revient à projeter
la fonction de distribution dans l’espace M1 à chaque pas de temps dans UGKS.

Afin d’implémenter ce schéma, une méthode de quadrature pour calculer des demi-moments de fonction
de distribution M1 sur la sphère est proposée. De plus, une extension à l’ordre 2 n’affectant pas la
préservation de l’asymptotique est suggérée. La flexibilité de ce schéma est aussi démontrée dans sa
capacité à dégénérer vers un schéma de diffusion arbitrairement choisi. Finalement, cette nouvelle
méthode est validée et testée sur différents cas tests.

Hilbert, in his 1900 so-called "problems lecture", formulated as 6th problem the challenge
to find an axiomatic basis for mechanics and probability. Kolmogorov's 1933 "Grundbegriffe"
monograph was widely accepted as an adequate answer to this challenge regarding the
axiomatisation of --- one has to say now --- "classical" probability. Coincidentally,
1900 is also the year when Planck formulated his thesis of energy quanta, which would
give rise to quantum theory, and which requires a new probability theory. This became clear
after Heisenberg's 1925 paper and his Göttingen colleagues' works afterwards, which together
with Dirac introduced the algebraic point of view, culminating in von Neumann's 1932
monograph on the widely known Hilbert space representation of quantum mechanics; which
actually appeared before Kolmogorov's monograph. The main difference between the classical
and the "new" probability lay in the non-commutativity of random variables. Today there
are also other areas where such quantum like behaviour (QLB) seems to occur.

The algebraic view offers a way on how to treat both classical and quantum like phenomena
in a unified mathematical setting. And although probabilists today seem to be happy
with Kolmogorov's approach based on measure theory, it may be interesting to look at
the subject through a different pair of glasses. This algebraic view also offers a
more direct way to address random variables with values in infinite dimensional
spaces, something which with classical measure theory can only be done in a somewhat
circumlocutory fashion. It also helps to separate purely algebraic questions
from analytical ones, but of course thrives in the interplay of both.

Without wanting to present a strict axiomatic derivation, the start will be an early ---
and in the light of modern theory also abstract algebraic --- view on random variables,
as can be found implicitly in the work of early probabilists like the Bernoullis. Their
properties are sketched as emanating from simple operational requirements regarding random
variables, the mean or expectation, as well as sampling or observations. Concrete
representations of this abstract setting connect it with algebras of linear mappings and
the spectral theory of these, and one may recover Kolmogorov's classical characterisation
as one particular representation.

Striking differences between classical or commutative probability and non-commutative
probability appear already with simple linear algebra. As this is a subject which
nowadays all engineering and science students learn at a very early stage, it may also
be an interesting approach to teaching probability. And possible novel devices like
quantum computers can be described in this setting.

This algebraic view has also a functional analytic extension, which can be used to
construct generalised random variables and "ideal elements". It allows the specification
of not only analogues of all the classical spaces of random variables, but to go beyond
this and address questions of "smoothness" on the one hand, and the definition of
idealised elements resp. "generalised" random variables on the other hand. This very
much echoes the construction of distributions resp. generalised functions in the sense
of Sobolev and Schwartz.

Je vais présenter un travail en collaboration avec Simon Machado (ETH Zürich) dans lequel nous prouvons une borne supérieure sur la multiplicité des premières valeurs propres du Laplacien sur une surface de courbure négative, en fonction de son genre. Notre méthode, qui repose sur des estimées du noyau de la chaleur et un argument géométrique provenant de la théorie des graphes, permet aussi de prouver une borne supérieure sur le nombre de valeurs propres dans une petite fenêtre spectrale, et cette dernière borne est quasiment optimale. Enfin, cette méthode s'étend aux variétés de dimension plus grande que 2.

La théorie du chaos quantique vise à décrire les états de
la mécanique quantique dans un environnement où la dynamique
classique est chaotique. L'exemple phare est celui de l'opérateur
Laplace-Beltrami sur une variété lisse hyperbolique compacte. Il
est montré que la dynamique classique chaotique sous-jacente
sur de telles variétés entraîne des propriétés de délocalisation
pour la plupart des fonctions propre associées.

Dans cet exposé, nous considérerons un modèle jouet pour cela : nous
montrerons comment les états lagrangiens propagés par le semi-groupe
induit par un opérateur de Schrödinger aléatoire approprié converge localement
vers un stationnaire champ gaussien isotrope monochromatique.
Cela nous apportera également des bornes améliorées sur la norme sup
des fonctions propres.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec M. Ingremeau.