Les représentations irréductibles du groupe unitaire admettent une base canonique, qui a été implicitement introduite par Gelfand et Zetlin pour donner une construction de ces représentations à travers des formules explicites pour ses éléments de matrices. Dans cet exposé, nous expliquerons comment calculer leurs asymptotiques lorsque le plus haut poids poids de la représentation tend vers l'infini. Il s'agit d'une illustration de la méthode des orbites, où une représentation irréductible est interprétée comme la quantification géométrique d'une orbite coadjointe du groupe unitaire, considérée comme un espace des phases en mécanique classique. Cela utilise des outils de quantification de Berezin-Toeplitz, ainsi qu'une construction due à Guillemin et Sternberg d'un système intégrable naturel sur cette orbite coadjointe, appelé système de Gelfand-Zetlin.

Cette présentation porte sur l'observabilité de l'équation de Schrödinger. Nous débuterons par une introduction générale de l'équation de Schrödinger, suivie de l'énoncé du théorème d'observabilité formulé par LEBEAU et de motivations pour ce problème, notamment en lien avec la théorie du contrôle.

Ensuite, nous introduirons des outils d'analyse semi-classique indispensables à la compréhension et à la preuve de ce théorème. Nous aborderons les opérateurs pseudo-différentiels, en décrivant leur définition et leur fonctionnement à travers certains exemples, puis nous explorerons la notion de mesures semi-classiques et les différentes propriétés de celles-ci.

Enfin, nous examinerons l'hypothèse géométrique du théorème, qui joue un rôle essentiel, avant de reformuler le théorème dans une version affaiblie. Cela nous permettra d'esquisser une idée de la preuve en mobilisant les outils développés au cours de la présentation.

Nous commencerons l'exposé par la présentation de résultats et de problèmes qui font le lien entre la théorie spectrale du laplacien et la dynamique du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Nous étudierons ensuite, si le temps nous le permet, les questions analogues dans le cas plus simple de l'application du chat d'Arnold agissant sur le tore de dimension 2.

L’espace pseudo-hyperbolique H2,n est l’analogue pseudo- Riemannien de l’espace hyperbolique. Dans cet exposé, j’expliquerai comment résoudre le problème de Plateau asymptotique dans cet espace : étant donné un cercle topologique dans le bord à l’infini de H2,n, nous construisons une unique surface maximale complète qui s’appuie sur ce cercle. Cette construction repose sur la théorie des courbes pseudo-holomorphes développée par Gromov. Il s’agit d’un travail en commun avec François Labourie et Mike Wolf.

Nous établissons une classification partielle des variétés riemanniennes complètes portant une fonction non triviale satisfaisant une équation de type Obata que nous préciserons. Travaux en commun avec Ines Kath, Université de Greifswald, et Georges Habib, Université Libanaise.

Référence : https://hal.science/hal-04035302v1