Van de Ven a démontré en 1959 que les sous-variétés de l'espace projectif dont la suite du fibré normal est scindée sont des sous-espaces linéaires. Dans cet exposé j'expliquerai une généralisation de ce résultat aux variétés homogènes rationnelles : une sous-variété d'une variété homogène rationnelle dont la suite du fibré normal est scindée est une variété homogène rationnelle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Andreas Höring.

The presentation will be divided in two parts: (1) We will briefly introduce the linear inverse problem setting in which we seek to approximate an unknown function from measurements by an element of a linear space. However, linear spaces become ineffective for approximating simple and relevant families of functions, such as piecewise smooth functions, that typically occur in hyperbolic PDEs (shocks) or images (edges). We will then analyze which conditions can give us certified recovery bounds for inversion procedures based on nonlinear approximation spaces. (2) We will apply this framework to the recovery of general bidimensional shapes from cell-average data (high-resolution images from coarser cell averages). Then we will show how to build fast higher order methods to reconstruct interfaces as well as two strategies to deal with non-smooth interfaces presenting corners.

Cette étude s'intéresse aux phénomènes géophysiques, et plus particulièrement aux courants de densité pyroclastiques, des mélanges complexes composés de pyroclastes, de fragments rocheux et d'air. Ces phénomènes destructeurs, capables de parcourir de grandes distances et d'impacter des zones urbanisées, se distinguent par leur capacité à se propager même sur des terrains à faible pente. La fluidisation et la dilatation de ces matériaux granulaires denses semblent jouer un rôle clé dans ces dynamiques. Des approches de modélisation ont ainsi été développées pour approfondir leur compréhension.

Un modèle de mélange fluide-solide, adapté pour intégrer les propriétés spécifiques du gaz interstitiel, a été utilisé. La compressibilité du gaz permet de reformuler l'équation de conservation de la masse de la phase gazeuse en une équation dépendant de la pression. Pour décrire la dynamique de la phase solide, l'équation de quantité de mouvement de cette phase est complétée par des lois constitutives basées sur une rhéologie seuil et une fonction de dilatance. La divergence du champ de vitesse, qui reflète la capacité de l'écoulement granulaire à s'étendre ou à se comprimer, dépend ainsi de la fraction volumique, la pression, le taux de déformation et le nombre inertiel. Ce cadre théorique fournit une description réaliste et robuste des écoulements granulaires non-isochore fluidisés et constitue une base solide pour des études numériques.

On s'intéresse à la mesure empirique associée à un processus ponctuel dans R^d, comme par exemple les valeurs propres d'une matrice aléatoire ou les particules d'un gaz de Coulomb. Dans le but d'étudier sa vitesse de convergence, on s'intéresse à la distance de Wasserstein d'ordre p entre cette mesure empirique et sa moyenne, particulièrement en dimension 2. Une borne sur cette distance est obtenue sous une hypothèse sur les moments centrés d'ordre p du nombre de points dans des carrés, ce qui revient pour p=2 à supposer que le processus est hyperuniforme. Notons que les processus déterminantaux hyperuniformes satisferont ces hypothèses pour tout p>=1. Travail en collaboration avec Raphaël Butez (Université de Lille) et David García-Zelada (Sorbonne Université).

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Dans cet exposé, je présenterai mes travaux de thèse et postdoctoraux sur l’application des méthodes numériques en biologie. Nous avons utilisé le modèle individu centré (IBM) pour analyser le comportement collectif d’agents suivant des règles simples, reliant les les comportements individuels aux aspects spatiaux et révélant la dynamique émergente des populations. Cette approche a été appliquée à des modèles multi-échelle pour les campagnols, les cellules T CD8 et les organoïdes de neuroblastome. Inspirés du modèle hybride ODE-Multi Agent de Marilleau-Lang-Giraudoux [1], nous avons développé un modèle pour analyser la dynamique des campagnols en France, utilisant des équations différentielles ordinaires dans des cellules carrées, sans dynamique spatiale. Lorsque la densité d’une cellule dépasse un seuil, des jeunes campagnols migrent et forment un agent dont le comportement est influencé par la topographie et les cellules voisines. Nous avons utilisé un graphe orienté avec des équations de transport pour chaque colonie et simulé des transitions entre colonies [2]. Les simulations ont validé le modèle simplifié, et nous avons également exploré des modèles plus complexes pour la densité de la population de campagnols [3] et les interactions proie-prédateur [4]. Pendant mon postdoctorat, j’ai utilisé le logiciel Simuscale [5] d’INRIA pour développer des modèles multi-échelle sur les cellules T CD8 et les organoïdes de neuroblastome. Nous avons modélisé les cellules T CD8 avec une approche IBM, incluant un réseau de régulation genetique décrit par un processus de Markov déterministe par morceaux, ce qui a bien reproduit la dynamique biologique et permis d’évaluer la sensibilité des paramètres [6]. Pour les organoïdes de neuroblastome, un réseau génétique simple a été développé, et les structures 3D simulées ont été validées par comparaison avec des images d’immunohistochimie. Les premiers résultats sont encourageants, ce travail est actuellement en cours.

Modeling concentrated ion mixtures in solvents like water is a complex research area with key applications in biology (e.g., ion transport through protein channels) and electrochemistry (e.g., batteries).

In this talk, I will present a finite volume scheme for modeling the diffusion of ions in constrained geometries using a degenerate Poisson-Nernst-Planck system with size exclusion yielding cross-diffusion. The proposed method utilizes a two-point flux approximation and is part of the exponentially fitted scheme framework. The scheme is shown to be thermodynamically consistent, as it ensures the decay of some discrete version of the free energy. Classical numerical analysis results - existence of discrete solution, convergence of the scheme as the grid size and the time step go to 0 - follow. The long-time behavior of the scheme is also investigated, both from a theoretical and numerical point of view. Numerical simulations confirm our findings, but also point out some possibly very slow convergence towards equilibrium of the system under consideration.