L’étude des sous-variétés legendriennes modulo isotopie legendrienne est un thème central en géométrie de contact. Pour construire des invariants homologiques fins pour d’importantes classes de telles sous-variétés, trois approches sont disponibles : les courbes holomorphes, les familles génératrices et les faisceaux. La première approche donne lieu à des structures algébriques plus complexes et qui nécessitent un choix d’augmentation pour en extraire des invariants calculables. Ces trois approches devraient être équivalentes, mais cela n’est établi par calcul combinatoire qu’en petite dimension. En vue d’attaquer cette question en toute dimension, on construit par analyse géométrique un foncteur depuis la catégorie des augmentations vers la catégorie dérivée des faisceaux. Le but de cet exposé est d’expliquer tout cela d’une manière abordable pour les non spécialistes. Il s’agit d’un travail en cours avec Claude Viterbo.

Une hypersurface $S$ (qu'on supposera toujours compacte) d'une variété symplectique $(W,\omega)$ porte un feuilletage naturel appelé feuilletage caractéristique. Une question classique est de savoir si ce feuilletage a au moins une feuille fermée.

Dans $R^{2n}$ par exemple, si $S$ est de type contact, on sait depuis les travaux de C. Viterbo que la conjecture de Weinstein est vraie, c'est à dire qu'il existe toujours au moins une caracéristique fermée sur $S$. Si $S$ n'est pas de type contact, on sait qu'elle peut ne pas avoir de caractéristique fermée, mais un résultat célèbre de Zehnder et Struwe montre qu'il y en a "presque sûrement" dans le sens suivant: une hypersurface $S={ H=c }$ donnée comme niveau d'un Hamiltonien propre $H$ a la propriété d'existence presque sûre de caractéristique fermée si, pour presque tout niveau $c'$ dans un voisinage de $c$, l'hypersurface $S'={ H=c' }$ porte une caractéristique fermée.

La question initiale se décline alors pour l'existence presque sûre:

Q1: Pour une hypersurface donnée $S$ dans $W$, à quelle condition a-t-elle cette propriété d'existence presque sûre?

Q2: A quelle condition sur $W$ est-ce que toutes les hypersurfaces compactes de $W$ ont cette propriété d'existence presque sûre?

Le but de l'exposé est de présenter des réponses à ces deux questions quand $W=T^*Q$ est un cotangent, et d'expliquer comment l'homologie de Floer "à coefficients locaux enrichis" peut-être utilisée pour cela.

Le patchwork combinatoire est une méthode de construction de variétés algébriques réelles qui a été découverte par Oleg Viro dans les années 80, dont on est loin encore de comprendre toutes les propriétés. Dans un travail en commun avec Diego Matessi, nous nous intéressons aux patchworks dans les polytopes réflexifs, ce qui produit des hypersurfaces de Calabi-Yau. Par les travaux de Batyrev des années 90, ces hypersurfaces possèdent un miroir. Nous observons alors qu’un patchwork correspond à un diviseur dans le miroir et nous montrons certaines propriétés du patchwork en termes de la variété miroir. Par exemple, le patchwork produit une variété algébrique réelle connexe ssi le diviseur est non trivial.

We study the Pauli operator in a two-dimensional, connected domain with Neumann or Robin boundary condition. We prove a sharp lower bound on the number of negative eigenvalues reminiscent of the Aharonov-Casher formula. We apply this lower bound to obtain a new formula on the number of eigenvalues of the magnetic Neumann Laplacian in the semi-classical limit. Our approach relies on reduction to a boundary Dirac operator. We analyze this boundary operator in two different ways. The first approach uses Atiyah-Patodi-Singer index theory. The second approach relies on a conservation law for the Benjamin-Ono equation. This is a joint work with S. Fournais, R. L. Frank, M. Goffeng, M. Sundqvist.

For general initial data without any structural assumption, the Prandtl equations are usually ill-posed in the Sobolev space because the loss of tangential derivatives occurs in a non-local term. We will study the well-posedness property of the Prandtl equations in the critical Gevrey space of index 2. The proof combines a new cancellation mechanism with the abstract Cauchy-Kovalevskaya theorem, to overcome the difficulty of the loss of derivatives in the system.