Nous profitons de la présence du jury de thèse de Charbella Abou Khalil (soutenance mardi 24) pour organiser un workshop au Laboratoire de mathématiques Jean Leray, salle des séminaires.

Programme :

9h00 : R. Imekraz (La Rochelle Univ.), "About uniform convergence of random series of radial eigenfunctions »

10h15 : R. Carles (CNRS, Rennes), "Time spliting and error estimates for nonlinear Schrödinger equations with potential »

11h30 : E. Faou (INRIA, Rennes), "Quelques nouveautés sur le problème de concentration spectrale »

À l’occasion de leur participation au jury de thèse de Gurvan le lundi 23 après-midi, nous aurons le plaisir d’écouter Omid Amini et Ilia Itenberg.

Nous commencerons par une brève introduction à la topologie des courbes algébriques réelles, puis nous discuterons plus en détail le cas des courbes de degré 6 dans le plan projectif réel. Nous montrerons que le type de déformation équisingulière d'une courbe réelle plane simple de degré 6 avec une partie réelle lisse est déterminé par son type homologique réel, c'est-à-dire, la polarisation, les diviseurs exceptionnels, et la structure réelle encodés dans l'homologie de la surface K3 associée à la courbe (travail en commun avec Alex Degtyarev).

À l’occasion de leur participation au jury de thèse de Gurvan le lundi 23 après-midi, nous aurons le plaisir d’écouter Omid Amini et Ilia Itenberg.

Résumé :

The metric version of Strominger-Yau-Zaslow conjecture from mirror symmetry predicts the existence of special Lagrangian fibrations on maximally degenerate families of Calabi-Yau varieties. A second conjecture by Kontsevitch and Soibelman stipulates the convergence of rescaled Calabi-Yau metric in one-parameter families of maximally degenerate Calabi-Yau varieties to a (still-to-be-formulated) canonical metric on a finite simplicial complex associated to the family. In this talk, we will formulate a tropical analogue of the Monge-Ampère equation and discuss its connections to the above conjectures. First, we will present a differential calculus on tropical varieties that allows to properly formulate the tropical Monge-Ampère equation on Kähler tropical varieties. Then, we will discuss our current understanding of this equation. We will explain how a recent work by Yang Li and some new results about tropicalizations of algebraic varieties allow to deduce the metric SYZ conjecture from the existence of a solution to the tropical Monge-Ampère equation. We will also see how the formalism allows to properly formulate the conjectural limit metric in the Kontsevitch-Solibelman conjecture. Based on joint work with Matthieu Piquerez.

Adrien Currier soutiendra sa thèse au Laboratoire de mathématiques Jean Leray, salle des séminaires à 14h.

Titre de la thèse : Quelques outils pour l'étude des sous-variétés lagrangiennes dans les fibrés cotangents avec structure localement conformément symplectique.

Charbella Abou Khalil soutiendra sa thèse au Laboratoire de mathématiques Jean Leray en salle des séminaires à 13h30.

Titre de la thèse : Forme normale de Birkhoff en faible régularité.

Résumé : Nous nous intéressons au comportement en temps longs des petites solutions des EDPs hamiltoniennes semi-linéaires non résonnantes. De nombreux résultats ont été réalisés pour montrer la stabilité en haute régularité (dans l’espace de Sobolev H^s avec s élevé) qui semblait essentielle dans les preuves. Cependant, certains résultats numériques ont suggéré que nous pouvons observer une conservation en temps longs même sans l’hypothèse de régularité.

Motivés par ces simulations, d’une part nous prouvons en faible régularité, la presque préservation pour des temps très longs des actions bas de l’oscillateur harmonique quantique non linéaire avec des potentiels multiplicatifs. D’autre part, nous prouvons qu’après une discrétisation par des intégrateurs numériques symplectiques appliqués aux équations de Klein–Gordon non linéaires, les super-actions sont presque préservées pour des temps très longs qui explique partiellement les observations numériques.

Gurvan Mével soutiendra sa thèse à l'UFR des sciences et des techniques de Nantes université, bâtiment 11, salle 3 à 14h.

Titre de la thèse : Asymptotic properties of tropical refined invariants

Résumé : In enumerative algebraic geometry, the number of curves on a surface behaves differently whether one fixes the number of nodes or the genus of the curves. It is polynomial in the first case, but grows more than exponentially fast in the second case. In the first case Göttsche conjecture, proven by Tzeng, gives a universal formula for the generating series of these numbers.

Tropical refined invariants were introduced by Block and Göttsche. They are polynomials that interpolates between real and complex enumerative questions. As expected, their coefficients behave polynomially when the number of nodes is fixed. However, Brugallé and Jaramillo-Puentes proved that some of their coefficients are also polynomial when the genus is fixed. In this thesis we prove some universal formulas for the first coefficients of the tropical refined invariants in genus 0 and 1, in the spirit of Göttsche conjecture.

The techniques we use fall under the scope of tropical geometry. Introduced by Brugallé and Mikhalkin, floor diagrams are a tool that turns the starting algebro-geometric question into a combinatorial problem. In this thesis, we precisely describe the floor diagrams that asymptotically take part in the computation of tropical refined invariants. This allows to write down universal formulas.