Le problème de concentration spectrale est un problème posé dans les années 1960 par Slepian, Landau et Pollak. Ils se sont intéressés aux fonctions qui ont une norme L^2([-1, 1]) maximale et pour lesquelles la transformée de Fourier est supportée dans [-c, c], c>0. Leurs résultats ont été ensuite utilisés dans de nombreux domaines d'applications. Dans cet exposé nous parlerons d'une généralisation du problème de concentration spectrale qui utilises des masques en espace et en Fourier, et nous en donnerons quelques propriétés basiques. En s'attardant sur le cas des masques binaires, nous étendrons le résultat de commutation au coeur des travaux de Slepian, Landau et Pollak. Le cas des masques gaussiens sera aussi abordé, et nous verrons alors comment décrire exactement les solutions du problème. Enfin, nous passerons à la résolution numérique dans le cas des masques binaires, puisque la présence de "quasi-clusters" de valeurs propres rend difficile la recherche de vecteurs propres. Nous donnerons une procédure numérique alternative, et comparerons ses résultats sur plusieurs exemples numériques.

Dans cet exposé, j'étudierai un modèle discret d'endommagement brutal dans différents régimes où la zone endommagée se concentre sur des ensembles infiniment petits. Nous identifierons la nature des modèles limites obtenus au moyen d'une analyse asymptotique basée sur la Gamma-convergence des énergies totales. Je commencerai par rappeler un modèle mécanique d'endommagement brutal introduit par Francfort et Marigo (1993), spécifié dans le cadre discret (bidimensionnel) où les énergies totales sont restreintes à des déplacements continus et affines par morceaux. Plus précisément, dans le contexte de l'endommagement brutal, nous considérons un matériau linéairement élastique composé de deux phases pures : une phase endommagée dont les propriétés élastiques sont affaiblies, et une phase saine. En introduisant des petits paramètres dans l'énergie totale de Francfort et Marigo, nous forçons les propriétés élastiques de l'état endommagé à dégénérer vers 0 tandis que les zones endommagées se concentrent sur des ensembles Lebesgue-négligeables. Selon les différents régimes asymptotiques de ces petits paramètres, nous obtenons cinq modèles mécaniques que je vous présenterai. J'essaierai de vous montrer les différences et idées clés de leurs démonstrations.

Cet exposé porte sur l’analyse numérique d’un problème de diffusion avec une condition au bord impliquant un Laplacien de surface en utilisant la méthode des éléments finis de Lagrange avec un ordre élevé. Afin de définir cet opérateur surfacique sur le bord, le domaine est supposé lisse : ainsi, le domaine maillé ne correspond pas au domaine physique initial, entraînant une erreur géométrique. Nous utilisons alors des maillages courbes afin de réduire cette erreur et définissons un opérateur de lift permettant de comparer la solution exacte définie sur le domaine initial et la solution approchée définie sur le domaine discrétisé. Nous obtenons alors des estimations d’erreur a priori, exprimées en termes d’erreur d’approximation par éléments finis et d’erreur géométrique. Des expériences numériques en 2D et 3D valident et complètent ces résultats théoriques, soulignant en particulier l’optimalité des erreurs obtenues. Ces simulations permettent également d’identifier une super-convergence des erreurs sur les maillages quadratiques.