Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Bergman Kähler-Einstein est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve repose sur l'asymptotique des dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques s'approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail en collaboration avec M. Xiao.

[French]

Après avoir introduit les noeuds legendriens, nous discuterons de quelques liens avec leur pendant symplectique, les sous-variétés lagrangiennes. Cela nous permettra d'introduire une relation entre les noeuds legendriens qui descend à leurs classes d'isotopies. Nous nous intéresserons plus particulièrement à des résultats qui lient la topologie d'un remplissage lagrangien exact au type d'isotopie legendrienne du noeud.

[English]

In this talk, we'll first introduce legendrian knots together with connections with their symplectic counterpart, lagrangian submanifolds. We'll then discuss how those connections allow to define a relation between legendrian knots that descends to their isotopy classes. Finally, we'll focus on results that link the topology of an exact lagrangian filling of a legendrian knot and the isotopy type of this knot.

Je présenterai une motivation de mon sujet de thèse, à savoir: le relevé du flot magnétique géodesique de $S^2$ à $S^3$ interprété par des symétries quaternioniques (Albers-Geiges-Zehmisch), et des généralisations (projets en cours).

Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d’un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini-Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Dans cet exposé, on s'intéresse à des estimations de décroissance locale pour l’équation des ondes dans un cadre asymptotiquement Euclidien. En dimensions paires, on va au-delà de la décroissance optimale en fournissant le profil asymptotique à long terme, donné par une solution de l’équation des ondes libres. En dimensions impaires, on améliore les meilleures estimations connues. En particulier, on obtient un taux de décroissance qui dépasse la décroissance optimale en dimensions paires.

L’analyse repose principalement sur une comparaison de la résolvante correspondante avec la résolvante du problème libre pour les basses fréquences. De plus, tous les résultats s’appliquent à l’équation des ondes amorties avec un indice d’absorption à courte portée.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Royer.

Dans cet exposé, on présentera les enjeux de la simulation numérique en temps grand de certains systèmes dissipatifs. Sur un exemple simple d’une équation de convection-diffusion, on montrera comment construire des méthodes numériques compatibles avec les états d’équilibre et qui préservent le comportement en temps du modèle continu.

Nous allons nous intéresser aux variables aléatoires de la forme Pn((Xi)i≥1), où : (i) (Pn)n≥1 est une suite de polynômes multivariés, chacun avec un nombre possiblement dénombrable de variables ; (ii) il existe une constante D≥1 telle que pour tout n≥1, le degré de Pn est borné par D ; (iii) (Xi)i≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant une moyenne nulle, une variance 1 et des moments finis à tout ordre.

Nous présenterons d'abord différents contextes où ces objets apparaissent naturellement: décomposition de Wiener pour des fonctionnelles d'un champ Gaussien, décomposition de Walsh pour des fonctions booléennes ou encore la décomposition Anova de Hoeffding puis donnerons quelques exemples d'utilisation récents de ces objets en physique statistique, théorie des graphes, géométrie aléatoire ou encore sciences sociales.

L'objectif principal de l'exposé est de présenter la résolution d'une question ouverte dans ce domaine de recherche consistant à classifier toutes les limites possibles en loi pour ce type de variables aléatoires.

Références: (liens arxiv)

-https://arxiv.org/abs/math/0503503

-https://arxiv.org/abs/2203.02850

-https://www.mathnet.ru/links/8acff9ba19ee0ead6e448b77afbcde60/rm9721_eng.pdf

Open book decompositions—known in various contexts as global Poincaré–Birkhoff sections, relative mapping tori, Milnor fibrations, fibered links, and spinnable structures—have arisen independently across several areas of mathematics. Introduced by Thurston and Winkelnkemper, they became a central tool in 3-dimensional contact topology through the groundbreaking work of Giroux, who established a one-to-one correspondence between contact structures up to isotopy and open book decompositions up to positive stabilization.

The strength of this correspondence lies in its combinatorial nature: an open book is determined by a mapping class group element of a surface with boundary, which in turn can be expressed in terms of Dehn twists along simple closed curves. As a result, problems in contact topology can be translated into combinatorial questions about curves on surfaces. This perspective enables explicit computations and offers a powerful framework for proving structural results.

In this talk, I will sketch a proof of the Giroux correspondence using the interplay between open book decompositions and Heegaard splittings. This is joint work with Joan Licata.

Soit $(Zk)$ une suite de variables aléatoires complexes indépendantes et identiquement distribuées de distribution commune $\mu$ et soit $Pn(X):=\prod{k=1}^n (X-Zk)$ le polynôme aléatoire associé dans $\mathbb C[X]$. En 2015, Z. Kabluchko a établi le résultat remarquable et inconditionnel qui affirme que la mesure empirique $\nun$ associée aux points critiques de $Pn$ converge faiblement en probabilité vers la mesure de base $\mu$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment renforcer cette convergence en probabilité en une convergence presque sûre. Nous évoquerons aussi le cas des zéros des dérivées d'ordres supérieurs. Travaux en commun avec D. Malicet et G. Poly.

Pour la bibliographie, on pourra consulter ces références : https://doi.org/10.1112/blms.12963 https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12258-1 https://doi.org/10.1214/24-ECP596