The Levy flight hypothesis postulates that Levy flight search patterns are more efficient than searches based on Brownian motions. However, in this talk I will present some recent results suggesting that this may not always be the case. 

These insights are based on obtaining detailed properties of the infinitesimal generators for geodesic Levy processes, which are not always fractional Laplacians as in the Euclidean case. Instead, depending on the behaviour of geodesic flows, these infinitesimal generators can take on various forms, including in some cases displaying propagation type behaviours like fundamental solutions of wave equation. We will discuss the ramification of these unexpected properties on the underlying stochastic process.

L'objectif du travail présenté est l'étude de séries temporelles radar qui sont par nature des séries temporelles complexes centrées. Dans la première partie de cette présentation, nous souhaitons réaliser le clustering de fouillis radar, c'est-à-dire des données radar liées à l'environnement tels les mers, les forêts ou les champs environnants. Nous supposerons que les séries temporelles complexes observées suivent un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré. De telles séries temporelles peuvent être représentées par leurs matrices de covariance qui sont des matrices Toeplitz hermitiennes définies positives. Elles peuvent également être représentées par les coefficients du modèle autorégressif. Certains coefficients autorégressifs appelés coefficients de réflexion sont de module strictement inférieur à 1 et déterminent entièrement le modèle autorégressif. Nous munirons cet espace de représentation d'une métrique riemannienne inspirée de la métrique de la géométrie de l'information sur les matrices hermitiennes définies positives. La variété riemannienne obtenue est une variété produit faisant intervenir plusieurs disques de Poincaré (autant que l'ordre du modèle autorégressif). Nous utiliserons alors l'algorithme des k-means dans cette variété riemannienne pour réaliser le clustering de fouillis radar. Dans la seconde partie de cette présentation, nous chercherons à faire de la détection et de la classification de drones à partir de séries temporelles radar. Les séries temporelles associées aux drones ne sont pas stationnaires, elles se distinguent par l'effet micro-Doppler induit par la rotation des hélices. Les séries temporelles complexes seront alors segmentées en fenêtres d'observation plus courtes. Pour chaque fenêtre, nous supposerons que la courte série temporelle observée est stationnaire et nous la représenterons par un point dans la variété riemannienne présentée dans la première partie. Nous obtiendrons alors une série temporelle riemannienne dont nous exploiterons les caractéristiques géométriques et statistiques pour faire de la détection et de la classification de drones.

In this paper, we study the asymptotic behavior of the global solution to a degenerate forest kinematic model, under the action of a perturbation modelling the impact of climate change. When the main nonlinearity of the model is assumed to be monotone, we prove that the global solution converges to a stationary solution, by showing that a Lyapunov function deduced from the system satisfies a Lojasiewicz-Simon gradient inequality. Under suitable assumptions on the parameters, we prove the continuity of the flow and of the stationary solutions with respect to the perturbation parameter. Although, due to a lack of compactness, the system does not admit the global attractor, we succeed in proving the robustness of the weak attractors, by establishing the existence of a family of positively invariant regions. We also present numerical simulations of the model and experiment the behavior of the solution under the effect of several types of perturbations. Finally, we show that the forest kinematic model can lead to the emergence of chaotic patterns

We propose a natural framework for the study of surfaces and their different discretizations based on varifolds. Varifolds have been introduced by Almgren to carry out the study of minimal surfaces. Though mainly used in the context of rectifiable sets, they turn out to be well suited to the study of discrete type objects as well. While the structure of varifold is flexible enough to adapt to both regular and discrete objects, it allows to define variational notions of mean curvature and second fundamental form based on the divergence theorem. Thanks to a regularization of these weak formulations, we propose a notion of discrete curvature (actually a family of discrete curvatures associated with a regularization scale) relying only on the varifold structure. We performed numerical computations of mean curvature and Gaussian curvature on point clouds in R^3 to illustrate this approach. Though flexible, varifolds require the knowledge of the dimension of the shape to be considered. By interpreting the product of the Principal Component Analysis, that is the covariance matrix, as a sequence of nested subspaces naturally coming with weights according to the level of approximation they provide, we are able to embed all d-dimensional Grassmannians into a stratified space of covariance matrices. Building upon the proposed embedding of Grassmannians into the space of covariance matrices, we generalize the concept of varifolds to what we call flagfolds in order to model multi-dimensional shapes.

Joint work with: Gian Paolo Leonardi (Trento), Simon Masnou (Lyon) and Xavier Pennec (INRIA Sophia).