This talk explores the quantum-classical transition in particle-field dynamics where a finite and fixed number of non-relativistic or semi-relativistic quantum particles interact with a quantized scalar field in the scaling limit of small value of Planck constant $\hbar\to 0$. Such topic aims to rigorously derive effective equations from fundamental first principles of quantum mechanics. In our case, the interaction between the wave and the particles are sufficiently singular to prevent us from using a standard fixed point argument. So that, when analyzing the quantum-classical transition, we crucially use the transferring of some a priori quantum regularizing effects to the classical equation in such a way that we are able to establish the global well-posedness for the particle-field equation while studying the transition by means of Wigner measures. And at the same time, we establish the Bohr’s correspondence principle.

Résumé : Quelle est la longueur moyenne d'une corde du cercle unité ? Selon la méthode employée pour désigner une corde, on peut obtenir des réponses tout à fait différentes à cette question qui paraît pourtant simple. Ce phénomène, connu sous le nom de paradoxe de Bertrand, illustre le fait qu'il n'existe pas toujours de densité (ou mesure) canonique sur des ensembles d'objets géométriques, décourageant ainsi la recherche d'une réponse objective à cette question.

Cependant, selon le contexte dans lequel on étudie le problème, certaines densités peuvent avoir des propriétés d'uniformité qui les rendent préférables aux autres. La géométrie intégrale étudie ainsi les densités qui sont invariantes par des groupes de transformations agissant sur ces objets géométriques. Une fois ces mesures déterminées, on peut obtenir des formules intégrales reliant différentes propriétés de ces objets (le cas le plus connu étant sans doutes le problème de l'aiguille de Buffon).

Dans cet exposé, après avoir présenté une version simplifiée du paradoxe de Bertrand et fait quelques rappels accessibles sur les formes différentielles, nous étudierons le cas particulier de l'ensemble des droites affines du plan, où le groupe des transformations considérées sera celui des transformations affines, puis nous déduirons certaines formules de géométries intégrales (dont la surprenante formule de Cauchy-Crofton). Nous déterminerons enfin la solution au paradoxe de Bertrand apportée par la géométrie intégrale.

Nous considérons un modèle bidimensionnel d'une marche aléatoire en auto-interaction, soumise à un accrochage le long d'un mur dur horizontal. Lorsque l'intensité de l'auto-interaction est suffisamment grande, le système entre dans une phase effondrée à l'intérieur de laquelle la marche aléatoire se replie sur elle-même pour former une boule compacte comprise entre une enveloppe supérieure et une enveloppe inférieure. Une particularité de ce modèle est que cette phase effondrée peut être divisée en deux régimes séparés par une courbe critique explicite. Ainsi, lorsque l'intensité de l'accrochage est faible, l'enveloppe inférieure s'éloigne du mur dur, tandis qu'elle est accrochée le long de la paroi dès que l'intensité de l'accrochage est suffisamment forte. Dans le cadre de cet exposé, nous nous concentrerons sur cette dernière transition.

References:

• https://projecteuclid.org/journals/annals-of-probability/volume-50/issue-4/Surface-transition-in-the-collapsed-phase-of-a-self-interacting/10.1214/22-AOP1567.full
• https://arxiv.org/abs/2007.11313

We consider the problem of state estimation from $m$ linear measurements, where the state $u$ to recover is an element of the manifold $\mathcal{M}$ of solutions of a parameter-dependent equation. The state is estimated using a prior knowledge on $\mathcal{M}$ coming from model order reduction. Variational approaches based on linear approximation of $\mathcal{M}$ yields a recovery error li-mited by the Kolmogorov $m$-width of $\mathcal{M}$. To overcome this issue, piecewise-affine approximations of $\mathcal{M}$ have also be considered, that consist in using a library of linear spaces among which one is selected by minimizing some distance to $\mathcal{M}$. In this work, we propose a state estimation method relying on dictionary-based model reduction, where a space is selected from a library generated by a dictionary of snapshots, using a distance to the manifold. The selection is performed among a set of candidate spaces obtained from the path of a $\ell_1$-regularized least-squares problem. Then, in the framework of parameter-dependent operator equations (or PDEs) with affine parameterizations, we provide an efficient offline-online decomposition based on randomized linear algebra, that ensures efficient and stable computations while preserving theoretical guarantees.

References: https://arxiv.org/abs/2303.10771