Sur une surface fermée à courbure négative, Margulis a explicité la croissance asymptotique du nombre de géodésiques fermées de longueurs bornées, quand la borne tend vers l’infini. Une question naturelle est de savoir si on peut obtenir des résultats similaires pour des géodésiques qui sont sujettes à certaines contraintes, topologiques ou géométriques. Après un état de l’art sur la question, je présenterai des résultats récents sur le comptage de géodésiques fermées pour lesquelles on a prescrit certains nombres d’intersection géométriques avec une famille de courbes simples.

Étant donné un schéma symplectique dérivé (-1)-décalé $X$ avec une donnée d'orientation convenable, Brav-Bussi-Dupont-Joyce-Szendroi (BBDJS) construisent par recollement un faisceau pervers globalement défini sur $X$ dont la caractéristique d'Euler calcule les invariants de Donaldson-Thomas tels que décrits par K. Behrend. Cette construction est basée sur un théorème de Darboux: localement les schémas (-1)-symplectiques sont des lieux critiques dérivés d'une fonction $f$ sur un schéma lisse $U$. Dans cet exposé, je présenterai un travail en cours avec B. Hennion et J. Holstein où on propose une stratégie pour recoller sur $X$ un faisceaux de catégories de factorisation matricielles, localement de la forme $MF(U,f)$. En particulier notre résultat permet de récupérer la construction BBDJS.

Une EDP peut être résolue numériquement via des méthodes de discrétisations (Elements Finis, Volumes Finis, etc.), issues d’un maillage espace-temps, dont la finesse contrôlera l’erreur commise. Obtenir une grande précision implique de résoudre un système numérique de (très) grande taille, nécessitant d’importantes ressources de calcul. Cela pose problème lorsque l’on veut en résoudre un grand nombre avec des ressources limitées.

La réduction de modèle vise à approximer un ensemble de solutions (numériques) issues d’une EDP paramétrique par des structures de faible dimension. Une méthodes classique est celle des Bases Réduites, utilisant sur un sous-espace vectoriel construit par un algorithme glouton.

Dans cet exposé nous utiliserons l’exemple de la diffusion 2D pour comprendre comment cette méthode fonctionne. Nous verrons comment approximer rapidement et précisément une solution par un espace de faible dimension, et comment construire efficacement cet espace.

Prérequis : bases d’algèbre linéaire (valeur propres).

========== English version ==========

Model Reduction for parameterized PDEs: why and how ?

We can solve numerically a PDE using discretization methods (Finite Element, Finite Volume), based on some space-time meshing, whose fineness controls the error. Obtaining high accuracy implies solving a (very) large numerical system, requiring important computational resources. This is an issue when one wants to solve many of them with limited resources.

Model Reduction aims to approximate the set of (numerical) solutions from parameterized PDE by using low-dimensional structures. The Reduced Basis method is a classical approach, which is based on a vector subspace built via a greedy algorithm.

During this talk, we will use the 2D diffusion equation as an example to detail how the RB method works. We will learn how to approximate a solution using a low-dimensional vector subspace, with controlled accuracy and low computational cost, as well as how to build efficiently such a subspace.

Prerequisites: Linear algebra basics (eigenvalues).

Le premier objectif de cet exposé sera d'introduire le monde dendroidal, qui généralise le monde simplicial. Au lieu de travailler avec la catégorie Delta, nous travaillerons avec la catégorie Omega, une catégorie d'arbres introduite par Moerdijk et Weiss. Les préfaisceaux sur Delta sont appelés ensembles dendroidaux et généralise les ensembles simpliciaux. J'expliquerai ensuite comment les opérades et les infini-opérades apparaissent dans ce contexte. Dans une seconde partie, j'introduirai une notion d'homologie pour les infini-opérades, via une construction bar. Ceci est un travail en commun avec Ieke Moerdijk

Dans cette exposé nous nous intéresserons au problème de Calderón qui consiste à détecter la conductivité d'un milieu à partir du flux de courant mesuré sur le bord du milieu provenant de l'application de différents potentiels électriques sur le bord du milieu. Ce problème inverse aux applications multiples (imagerie médicale, géophysique...) se formule comme la détermination d'un paramètre apparaissant dans une équation elliptique. Dans cet exposé nous considérerons ce problème pour des équations elliptiques quasilinéaires où le paramètre à déterminer sera associé à une expression non-linéaire décrivant la conductivité du milieu. Ces travaux proviennent d'une collaboration avec Cătălin I. Cârstea, Ali Feizmohammadi, Katya Krupchyk et Gunther Uhlmann.