The Levy flight hypothesis postulates that Levy flight search patterns are more efficient than searches based on Brownian motions. However, in this talk I will present some recent results suggesting that this may not always be the case. 

These insights are based on obtaining detailed properties of the infinitesimal generators for geodesic Levy processes, which are not always fractional Laplacians as in the Euclidean case. Instead, depending on the behaviour of geodesic flows, these infinitesimal generators can take on various forms, including in some cases displaying propagation type behaviours like fundamental solutions of wave equation. We will discuss the ramification of these unexpected properties on the underlying stochastic process.

L'objectif du travail présenté est l'étude de séries temporelles radar qui sont par nature des séries temporelles complexes centrées. Dans la première partie de cette présentation, nous souhaitons réaliser le clustering de fouillis radar, c'est-à-dire des données radar liées à l'environnement tels les mers, les forêts ou les champs environnants. Nous supposerons que les séries temporelles complexes observées suivent un modèle autorégressif gaussien stationnaire centré. De telles séries temporelles peuvent être représentées par leurs matrices de covariance qui sont des matrices Toeplitz hermitiennes définies positives. Elles peuvent également être représentées par les coefficients du modèle autorégressif. Certains coefficients autorégressifs appelés coefficients de réflexion sont de module strictement inférieur à 1 et déterminent entièrement le modèle autorégressif. Nous munirons cet espace de représentation d'une métrique riemannienne inspirée de la métrique de la géométrie de l'information sur les matrices hermitiennes définies positives. La variété riemannienne obtenue est une variété produit faisant intervenir plusieurs disques de Poincaré (autant que l'ordre du modèle autorégressif). Nous utiliserons alors l'algorithme des k-means dans cette variété riemannienne pour réaliser le clustering de fouillis radar. Dans la seconde partie de cette présentation, nous chercherons à faire de la détection et de la classification de drones à partir de séries temporelles radar. Les séries temporelles associées aux drones ne sont pas stationnaires, elles se distinguent par l'effet micro-Doppler induit par la rotation des hélices. Les séries temporelles complexes seront alors segmentées en fenêtres d'observation plus courtes. Pour chaque fenêtre, nous supposerons que la courte série temporelle observée est stationnaire et nous la représenterons par un point dans la variété riemannienne présentée dans la première partie. Nous obtiendrons alors une série temporelle riemannienne dont nous exploiterons les caractéristiques géométriques et statistiques pour faire de la détection et de la classification de drones.