Considérons l'équation de Schrödinger avec potentiel confinant V dans l'espace Euclidien. La question de l'observabilité dans un ouvert U en temps T s'exprime ainsi : pour une donnée initiale v(0) de carré intégrable, est-il vrai que la masse laissée par la solution v(t) dans U sur l'intervalle de temps [0, T] est minorée par une fraction fixée (disons 1/10) de la masse de la donnée initiale ? Nous verrons que l'on peut caractériser les ouverts U et les temps T pour lesquels un tel énoncé est vrai (sous réserve d'épaissir un peu l'ensemble d'observation U). La condition d'observabilité que l'on trouve résulte d'une certaine forme de correspondance classique-quantique, que l'on étudie grâce à l'analyse semi-classique. En guise d'exemple, nous nous intéresserons, en dimension 2, au cas des oscillateurs harmoniques, où le potentiel V est quadratique. Pour des ensembles d'observation U invariants par rotation, nous verrons que le temps d'observation optimal dépend non seulement de la géométrie de U, mais aussi des propriétés Diophantiennes des fréquences propres de l'oscillateur.

On présente un nombre de résultats concernant le comportement des spectres des opérateurs pseudodifférentiels associés à des symboles de Hoermander d'ordre strictement positifs elliptiques perturbés par des champs magnétiques réguliers qui ne sont pas supposés nuls a l'infini. Le résultat principal affirme la 'quasi'-Lipschitzianité des bords des lacunes spectrales en rapport avec l'intensité du champ magnétique. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec Horia Cornean et Bernard Helffer en utilisant aussi des méthodes développées en collaboration avec Viorel Iftimie et Marius Mantoiu.

Dans ce séminaire, nous parlerons d'un extension d'un modèle répulsif. Un polymère est placé dans un champ magnétique faiblement répulsif. Nous étudierons son interaction en fonction de la distance entre deux interfaces répulsives - pensez à une distance d'interfrange, https://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/optique/young/young.html en contient quelques unes -, et de la pénalité qu'il reçoit à toucher une interface. Nous présenterons nos résultats sur ce modèle.

References: Francesco Caravenna and Nicolas Pétrélis. Depinning of a polymer in a multi-interface medium." Electron. J. Probab. 14 2038 - 2067, 2009. https://doi.org/10.1214/EJP.v14-698

In this talk we will discuss the approximation to nonlinear dispersive equations, which asks for low-regularity assumptions on the initial data, both for deterministic and random initial data.

We will put forth a novel time discretization to the nonlinear Schrödinger equation, allowing for a low-regularity approximation, while maintaining good long-time preservation of the mass density and energy on the discrete level.

Higher order extensions will be presented, following new techniques based on decorated tree series expansions, inspired by singular SPDEs.