Cet exposé est consacré à l'approximation numérique du système d'Euler à 2 températures. Ce modèle est un système hyperbolique non conservatif décrivant un plasma situé hors équilibre thermique ainsi qu'en régime quasi-neutre. La non-conservativité du modèle provient d'une part de la présence de produits entre les vitesses et les gradients de pression mais aussi de la présence de termes sources. Nous avons établi un modèle BGK entropie-compatible pour ce système. Dans une première partie, nous présenterons un schéma d'ordre 2 en dimension 2 d'espace basé sur une discrétisation de type volumes finis. Dans une seconde partie, un schéma de type DG est présenté. Enfin, dans une dernière partie nous montrerons comment intégrer les champs magnétiques dans les modèles bitempératures.

Soit A le groupe Z^d pour fixer les idées. On s'intéresse aux A-modules M localement compacts, c'est-à-dire que M est un groupe abélien localement compact muni d'une action de A (i.e., de d automorphismes qui commutent entre eux). En particulier, on cherche à "dévisser" M en sous-modules "bien compris". Par exemple, lorsque M est discret et est un A-module de type fini, l'algèbre commutative classique répond à cette question de manière satisfaisante. On décrira un résultat de dévissage général, basé sur la notion de module contractant (i.e., sur lequel au moins un élément de A agit comme une contraction). On décrira des applications à l'étude des groupes métabéliens localement compacts.

Ce titre est un peu sibyllin. Il désigne un théorème prouvé par Jean Cerf à la fin des années 60, énonçant que tout difféomorphisme de la sphère de dimension trois se prolonge en difféomorphisme de la 4-boule. Par conséquent, aucune potentielle 4-sphère exotique ne pourra être obtenue par un recollement, aussi "exotique" soit-il, de deux hémisphères.

Le vrai théorème de Cerf (1968) énonce que tout difféomorphisme de la 3-sphère préservant l'orientation est isotope à l'identité. $\Gamma_4=0$ en est une conséquence immédiate.

Dans son article de 1992 à la mémoire de Claude Godbillon et de Jean Martinet, Yakov Eliashberg avait donné une preuve directe de $\Gamma4=0$, sans passer par $\pi0({\rm Diff_+}S^3)=0$. Il utilisait les outils de l'époque des courbes pseudo-holomorphes en géométrie de contact.

Dans cet exposé de séminaire, je voudrais présenter une preuve du théorème de Cerf que j'ai récemment rédigée. Elle se réduit à un théorème d'isotopie de feuilletages de $S^2\times [0,1]$ tangents au bord. De façon assez surprenante, le cadre géométrique est assez facile à traiter. La clé consiste en une suite convenable de chirurgies de Dehn qui "tue" toutes les obstructions sans changer le problème initial d'isotopie.

The aim of this work is to propose a numerical method to solve parameter-dependent hyperbolic partial differential equations (PDEs) with a moment approach, based on a previous work from Marx et al. (2020). This approach relies on a very weak notion of solution of nonlinear equations, namely parametric entropy measure-valued (MV) solutions, satisfying linear equations in the space of Borel measures. The infinite-dimensional linear problem is approximated by a hierarchy of convex, finite-dimensional, semidefinite programming problems, called Lasserre's hierarchy. This gives us a sequence of approximations of the moments of the occupation measure associated with the parametric entropy MV solution, which is proved to converge. In the end, several post-treatments can be performed from this approximate moments sequence. In particular, the graph of the solution can be reconstructed from an optimization of the Christoffel-Darboux kernel associated with the approximate measure, that is a powerful approximation tool able to capture a large class of irregular functions. Also, for uncertainty quantification problems, several quantities of interest can be estimated, sometimes directly such as the expectation of smooth functionals of the solutions. The performance of this approach is evaluated through numerical experiments on the inviscid Burgers equation with parametrised initial conditions or parametrised flux function.

The aim of this work is to analyze numerical schemes using two-layer neural networks with infinite width for the resolution of the high-dimensional Poisson partial differential equation (PDE) with Neumann boundary condition. Using Barron’s representation of the solution with a probability measure defined on the set of parameter values, the energy is minimized thanks to a gradient curve dynamic on the 2-Wasserstein space of the set of parameter values defining the neural network. Inspired by a work from Bach and Chizat, we prove that if the gradient curve converges, then the represented function is the solution of the elliptic equation considered. In contrast to previous works, the activation function we use here is not assumed to be homogeneous to obtain global convergence of the flow. Numerical experiments are given to show the potential of the method.

I will present a work in collaboration with M. Bessemoulin-Chatard and T. Rey, in which we consider a non-linear kinetic model describing a two-species generation-recombination reaction that can be considered as a simplified version of the models describing the generation and recombination of electron-hole pairs in semiconductors. I will introduce a finite volume discretization of this model for which we can prove an exponential decay towards the steady state using discrete hypocoercivity methods. After presenting the ideas of the proof in the continuous framework, I will highlight the main difficulties induced by the discretization process. The properties of the method will then be illustrated by several numerical examples.