This talk adresses the long-term behavior of reaction-diffusion equations ∂tu = Δu + f(u) in RN, where the growth function f behaves as u1+p when u is near the origin. Specifically, we are interested in the persistance versus extinction phenomena in a population dynamics context, where the function u represents a density of individuals distributed in space. The degenerated behavior f(u) ∼ u1+p near the null equilibrium models the so-called Allee effect, which penalizes the growth of the population when the density is low. This effect simulates factors such as inbreeding, mating difficulties, or reduced resistance to extreme climatic events. We will begin the presentation by discussing a result linking the questions of persistence and extinction with the dimension N and the intensity of the Allee effect p, as established in the classical paper by Aronson and Weinberger (1978). This result is closely related to the seminal work of Fujita (1966) on blow-up versus global existence of solutions to the superlinear equation ∂tu = Δu + u1+p. Following these preliminary results, we will focus on a reaction-diffusion system involving a “heat exchanger”, where the unknowns are coupled through the diffusion process, integrating super-linear and non-coupling reactions. An analysis of the solution frequencies for the purely diffusive heat exchanger will allow us to estimate its “dispersal intensity”, which is a key information for addressing blow-up versus global existence in such semi-linear problems. This work represents a first step toward Fujita-type results for systems coupled by diffusion and raises several open questions, particularly regarding the exploration of more intricate diffusion mechanisms.

Les adipocytes ou cellules adipeuses sont présentes dans le tissu adipeux où elles jouent un rôle de stockage d’énergie sous la forme d’une vésicule lipidique dans leurs cytoplasmes. A partir de données obtenues chez le rat, on observe que la distribution en taille (rayon des cellules) est bimodale: elle a deux maxima locaux. Dans cet exposé je présenterais different modèles permettant d’expliquer ce caractère bimodale ainsi que des résultats théoriques et numériques sur ces modèles, en collaboration avec Magali Ribot et Romain Yvinec. Je montrerais notamment un résultat de convergence entre les modèles de Becker-Doring et de Lifshitz-Slyozov ainsi que des solutions numériques bimodales de ces modèles. Enfin je présenterais des résultats d’estimations de paramètres sur ces données en collaboration avec Chloé Audebert, Anne-Sophie Giacobbi et Hedi Soula.

Durant ce séminaire nous étudierons la théorie de la diffusion pour une famille d'opérateurs de Schrödinger. Ces opérateurs possèdent des spectres présentant un changement de multiplicité et donc des seuils plongés. Certains opérateurs possèdent également des résonances aux seuils. Nous construirons alors une C-algèbre à laquelle appartient les opérateurs d'onde. L'étude du quotient de cette algèbre par l'idéal des opérateurs compacts mène directement à l'existence de théorèmes d'indice en théorie de la diffusion. Ces théorèmes peuvent alors s'interpréter comme des théorèmes de Levinson en présence de seuils plongés et de discontinuités de la matrice de diffusion. La dépendance de ces résultats en fonction de certains paramètres sera également discutée. En particulier, une surface de résonances sera mise en évidence, probablement pour la première fois. Aucun prérequis C-algébrique n'est nécessaire pour cette présentation.

More than twenty years ago, Etnyre and Ghrist established a connection between Reeb fields in contact geometry and a class of stationary solutions to the 3D Euler equations for ideal fluids. In this talk, we present a new framework that allows assigning contact/symplectic invariants to large sets of time-dependent solutions to the Euler equations on any three-manifold with an arbitrary fixed Riemannian metric, thus broadening the scope of contact topological methods in hydrodynamics. We use it to prove a general non-mixing result for the infinite-dimensional dynamical system defined by the equation and to construct new conserved quantities obtained from spectral invariants in embedded contact homology. This is joint work with Francisco Torres de Lizaur.

L’étude des sous-variétés legendriennes modulo isotopie legendrienne est un thème central en géométrie de contact. Pour construire des invariants homologiques fins pour d’importantes classes de telles sous-variétés, trois approches sont disponibles : les courbes holomorphes, les familles génératrices et les faisceaux. La première approche donne lieu à des structures algébriques plus complexes et qui nécessitent un choix d’augmentation pour en extraire des invariants calculables. Ces trois approches devraient être équivalentes, mais cela n’est établi par calcul combinatoire qu’en petite dimension. En vue d’attaquer cette question en toute dimension, on construit par analyse géométrique un foncteur depuis la catégorie des augmentations vers la catégorie dérivée des faisceaux. Le but de cet exposé est d’expliquer tout cela d’une manière abordable pour les non spécialistes. Il s’agit d’un travail en cours avec Claude Viterbo.

Une hypersurface $S$ (qu'on supposera toujours compacte) d'une variété symplectique $(W,\omega)$ porte un feuilletage naturel appelé feuilletage caractéristique. Une question classique est de savoir si ce feuilletage a au moins une feuille fermée.

Dans $R^{2n}$ par exemple, si $S$ est de type contact, on sait depuis les travaux de C. Viterbo que la conjecture de Weinstein est vraie, c'est à dire qu'il existe toujours au moins une caracéristique fermée sur $S$. Si $S$ n'est pas de type contact, on sait qu'elle peut ne pas avoir de caractéristique fermée, mais un résultat célèbre de Zehnder et Struwe montre qu'il y en a "presque sûrement" dans le sens suivant: une hypersurface $S={ H=c }$ donnée comme niveau d'un Hamiltonien propre $H$ a la propriété d'existence presque sûre de caractéristique fermée si, pour presque tout niveau $c'$ dans un voisinage de $c$, l'hypersurface $S'={ H=c' }$ porte une caractéristique fermée.

La question initiale se décline alors pour l'existence presque sûre:

Q1: Pour une hypersurface donnée $S$ dans $W$, à quelle condition a-t-elle cette propriété d'existence presque sûre?

Q2: A quelle condition sur $W$ est-ce que toutes les hypersurfaces compactes de $W$ ont cette propriété d'existence presque sûre?

Le but de l'exposé est de présenter des réponses à ces deux questions quand $W=T^*Q$ est un cotangent, et d'expliquer comment l'homologie de Floer "à coefficients locaux enrichis" peut-être utilisée pour cela.

Le patchwork combinatoire est une méthode de construction de variétés algébriques réelles qui a été découverte par Oleg Viro dans les années 80, dont on est loin encore de comprendre toutes les propriétés. Dans un travail en commun avec Diego Matessi, nous nous intéressons aux patchworks dans les polytopes réflexifs, ce qui produit des hypersurfaces de Calabi-Yau. Par les travaux de Batyrev des années 90, ces hypersurfaces possèdent un miroir. Nous observons alors qu’un patchwork correspond à un diviseur dans le miroir et nous montrons certaines propriétés du patchwork en termes de la variété miroir. Par exemple, le patchwork produit une variété algébrique réelle connexe ssi le diviseur est non trivial.