L'espace hyperbolique complexe est l'analogue en géométrie complexe de l'espace hyperbolique réel : il s'agit de l'unique variété simplement connexe à courbure sectionnelle holomorphe constante (négative). Comme son pendant réel, il possède un modèle de la boule, dont le bord à l'infini (la sphère) est naturellement muni d'une géométrie. Plus précisément, il s'agit d'une géométrie de Cauchy-Riemann (CR), qui est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles dans les variétés Kähler. La géométrie du bord est intimement liée à la géométrie Riemannienne de la variété hyperbolique complexe. Dans cet exposé, nous considérons une variété complète et non compact dont la courbure à l'infini est proche de celle de l'espace hyperbolique complexe. Sous une condition géométrique naturelle, nous expliquerons comment construire un bord à l'infini pour une telle variété, qui possède toutes les caractéristiques de la sphère à l'infini de l'espace hyperbolique modèle. Ce résultat est une généralisation dans le cas presque-complexe de travaux effectués par E. Bahuaud et R. Gicquaud dans les années 2010, concernant les variétés localement asymptotiquement hyperboliques réelles.

Tout est dans le titre, nous allons essayer de comprendre par le calcul les homologies des espaces suivants : le carré, le tore et le plan projectif réel (ou la sphère si l’audience préfère). Grâce à ces dernières nous auront obtenu une méthode topologique (dans le monde des déformations continues) pour distinguer ces objets ! Vous aurez besoin de votre théorie des groupes et c'est tout.

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Everything is in the title, we will try to understand by calculation the homologies of the following spaces: the square, the torus and the real projective plane (or the sphere if the audience prefers). Thanks to these we will have obtained a topological method (in the world of continuous deformations) to distinguish these objects! You will need your group theory and that's it.

In this talk we discuss dispersive estimates for wave equations with low regularity coefficients. It was shown by Smith and Tataru that wave equations with $C^{1,1}$ coefficients satisfy the same Strichartz estimates as the unperturbed wave equation on $\mathbb{R}^n$, and that for less regular coefficients a loss of derivatives in the data occurs. We improve these results for Lipschitz coefficients with additional structural assumptions. We also discuss perturbation results through paradifferential arguments, and a recently introduced class of function spaces adapted to Fourier integral operators.

L'IRM de diffusion est une méthode non invasive d'imagerie médicale, qui permet de cartographier les microstructures du cerveau, afin de détecter et suivre des maladies neurologiques telles que la sclérose en plaque. Nous verrons ensemble comment fonctionne l'IRM de diffusion, quels sont les modèles mathématiques qu'on applique aux images, et comment les améliorer. Nous étudierons quelques images obtenues grâce à cette technique.

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Diffusion MRI is a non-invasive method of medical imaging that maps the microstructures of the brain to detect and monitor neurological diseases such as multiple sclerosis. We will see together how diffusion MRI works, what mathematical models are applied to the images, and how to improve them. We will study some images obtained with this technique.

Abstract

In this talk, we investigate sampling strategies for approximation of functions by weighted least-squares. Although a quasilinear sampling budget can already be achieved by iid random draws according to the adapted density [3], further reductions of the needed number of points are possible [2, 4], achieving provable performance estimates thanks to the solution to the Kadison-Singer problem [6]. However this involves a subsampling step, which is not algorithmically tractable. We show how greedy sampling methods [1, 5] can circumvent this defect, while attaining optimal sample sizes.

References

[1] J. Batson, D. A. Spielman, and N. Srivastava. “Twice-ramanujan spar- sifiers”. In: SIAM Journal on Computing 41.6 (2012).

[2] A. Cohen and M. Dolbeault. “Optimal pointwise sampling for L2 ap- proximation”. In: Journal of Complexity 68 (2022), p. 101602.

[3] A. Cohen and G. Migliorati. “Optimal weighted least-squares methods”. In: SMAI J. Comput. Math. 3 (2017), pp. 181–203.

[4] C. Haberstich, A. Nouy, and G. Perrin. “Boosted optimal weighted least- squares”. In: Math. Comp. 91.335 (2022), pp. 1281–1315.

[5] Y. T. Lee and H. Sun. “Constructing linear-sized spectral sparsification in almost-linear time”. In: SIAM J. Comput. 47.6 (2018), pp. 2315–2336.

[6] A. W. Marcus, D. A. Spielman, and N. Srivastava. “Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison-Singer problem”. In: Ann. of Math. (2) 182.1 (2015), pp. 327–350.

La marche aléatoire de l'éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d'étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. Dans cet exposé, on présentera plusieurs possibilités pour étudier et obtenir des résultats sur l’ERW. On s’intéressera à l’approche martingale, puis au lien avec les urnes de Polya ou encore avec les arbres aléatoires récursifs. En particulier, on expliquera comment l’utilisation des trois approches est nécessaire pour obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique de Langevin sur-amortie $d Xt = -U(Xt) dt + \sqrt{2h} d B_t $ dans la limite $ h \to 0 $ lorsque $U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d $ est un champ vectoriel régulier tel que, pour une certaine fonction régulière $V : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, la dynamique soit invariante par rapport à $e^{-\frac Vh} $. Nous nous intéresserons plus précisément aux propriétés du bas spectre du générateur de la dynamique, c-à-d $L = -h \Delta + U \cdot \nabla $, et à leurs liens avec le comportement en temps long de la dynamique dans le régime $h \to 0$. Si le temps le permet, nous regarderons aussi l’extension de ces résultats à certaines dynamiques non elliptiques. (D’après des travaux en collaboration avec Laurent Michel et Jean-François Bony)