Hidden Markov models (HMMs) are flexible tools for clustering dependent data coming from unknown populations, allowing nonparametric modelling of the population densities. Identifiability fails when data are in fact independent, and we study the frontier between learnable and unlearnable two-state nonparametric HMMs. Interesting new phenomena emerge when the cluster distributions are modelled via density functions (the `emission' densities) belonging to standard smoothness classes compared to the multinomial setting [1]. Notably, in contrast to the multinomial setting previously considered, the identification of a direction separating the two emission densities becomes a critical, and challenging, issue. Surprisingly, it is possible to "borrow strength" from estimators of the smoothest density to improve estimation of the other. We conduct precise analysis of minimax rates, showing a transition depending on compared smoothnesses of the emission densities.

Many functions of interest exhibit weighted summability of the coefficients with respect to some dictionary of basis functions. This property allows us to derive close-to-optimal best n-term approximation rates by means of a new weighted version of Stechkin’s Lemma. It is well known that these best n-term approximations can be estimated efficiently from samples. In fact, highly refined sample complexity results guarantee quasi-best n-term approximations with high probability. But the algorithm that perform this approximation have a time complexity that is linear in the size of the dictionary of basis functions. This is problematic, since this size typically grows rapidly when the dimension of the sought function increases. To bypass this issue, we propose to encode the coefficients in a simultaneously sparse and low-rank tensor format. Compared to a direct sparse approximation, the resulting sparse tensors trees have the advantage that we can use a large (tensor product) dictionary with a manageable time complexity. We transfer the close-to-optimal sample complexity results of the classical weighted sparse vectors to our new model class of sparse and low-rank tensors. For this we utilise a novel result that allows us to transfer the restricted isometry property from one set to another that is sufficiently close to the first one.

Nous étudions un problème d'évolution basique qui est l'invasion d'un mutant (variant) dans une population résidente. Pour des modèles simples nous donnerons quelques outils mathématiques qui permettent de donner une réponse à la question de l'invasion dans les environnements constants, périodiques et aléatoires.

Références : Arnold, Ludwig (1998). Random dynamical systems. English. Springer Monogr. Math. Berlin: Springer. isbn: 3-540-63758-3. Arnold, Ludwig, Volker Matthias Gundlach, and Lloyd Demetrius (1994). “Evolutionary formalism for products of positive random matrices”. English. In: Ann. Appl. Probab. 4.3, pp. 859–901. issn: 1050-5164. doi: 10.1214/aoap/1177004975. Benaı̈m, Michel et al. (2023). A note on the top Lyapunov exponent of linear cooperative systems. arXiv: 2302.05874 [math.DS]. Carmona, Philippe (2022). “Asymptotic of the largest Floquet multiplier for cooperative matrices”. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques. 6th ser. 31.4, pp. 1213–1221. doi: 10.5802/afst.1716. url: https://afst.centre-mersenne.org/articles/10.5802/afst.1716/. Carmona, Philippe and Sylvain Gandon (2020). “Winter is coming: pathogen emergence in seasonal environments”. In: PLoS Comput. Bio. 16.7. url: https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1007954. Chabas, Hélène et al. (Sept. 2018). “Evolutionary emergence of infectious diseases in heterogeneous host populations”. In: PLOS Biology 16.9, pp. 1–20. doi: 10.1371/journal.pbio.2006738. url: https://doi.org/10.1371/journal.pbio.2006738. Kurtz, Thomas G. (1977/78). “Strong approximation theorems for density dependent Markov chains”. In: Stochastic Processes Appl. 6.3, pp. 223–240. issn: 0304-4149. doi: 10.1016/0304-4149(78)90020-0. url: https://doi.org/10.1016/0304-4149(78)90020-0. Lion, Sébastien and Sylvain Gandon (2022). “Evolution of class-structured populations in periodic environments”. In: bioRxiv. doi: 10.1101/2021.03.12.435065. eprint: https://www.biorxiv.org/content/early/2022/01/20/2021.03.12.435065.full.pdf. url: https://www.biorxiv.org/content/early/2022/01/20/2021.03.12.435065.

Soit M une 4-variété asphérique, c'est à dire que son revêtement universel est contractile. Une conjecture de Singer implique que, pour une telle M, la signature est bornée par la caractéristique d'Euler. Je parlerai de cette inégalité pour les 4-variétés qui admettent une décomposition géométrique à la Hillman, un analogue 4-dimensionnel de la décomposition de Jaco-Shalen-Johnson en dimension 3. Je discuterai ainsi quelques exemples qui sortent de cette exploration. Il s'agit d'un travail en cours avec Luca F. Di Cerbo.

La plupart des processus environnementaux (intempéries, température, vent...) sont spatiaux par nature et la modélisation de leurs extrêmes nécessite de prendre en compte cette caractéristique. Souvent, on peut également rattacher à ces processus extrêmes environnementaux un autre process, à valeur angulaire (rafales de vent et leurs directions, forte intempéries et leur jour d’occurrence...). Dans cette présentation, je présenterai une nouvelle approche statistique pour la modélisation jointe de processus spatiaux extrêmes et angulaire, ainsi que des résultats et applications sur l’efficacité de cette approche.

References:

• Bayesian spatial modeling of extreme precipitation return levels. Cooley, Nychka and Naveau (2007). JASA.
• Modeling space and space-time directional data using projected gaussian processes. Gelfand and Wang (2014). JASA.

La notion d'algèbre de pre-Calabi-Yau a été introduite récemment par M. Kontsevich et Y. Vlassopoulos. Elle est très liée à deux notions plus anciennes : la notion d'algèbre de Calabi-Yau et la notion d'algèbre A-infinie. On s'intéressera dans cet exposé au lien avec cette dernière dont on donnera une description venant de la géométrie noncommutative. Je présenterai également plusieurs résultats récents concernant les algèbres de pre-Calabi-Yau, connus depuis longtemps dans le cas des algèbres A-infinies, tels que l'existence de modèles minimaux et la quasi-inversibilité des quasi-isomorphismes.

Dans cet exposé, je ferais d'abord quelques "rappels" sur l'analyse numérique. Je présenterais des schémas numérique en temps ainsi que la notion d'ordre de convergence. Je parlerai ensuite d'équations différentielles hautement oscillantes mettant en difficulté les méthodes usuelles. J'introduirai alors une méthode pour construire des schémas numériques uniformément précis, bien plus robuste pour ce genre de problèmes. Celle-ci se base sur une reformulation double-échelle de l'équation initiale où sont séparées les échelles de temps lente et rapide. On utilise le degré de liberté obtenu par cette reformulation en préparant la condition initiale à l'aide d'un développement de Chapman-Enskog. Cet exposé sera illustré par des courbes (durement acquises) d'ordre de convergence.

===================================================

In this talk, I will start by some racalls about numerical analysis. I will present some time's numerical schemes and the notion of convergence order. After that, I will speak about highly oscillatory differential equations. Usual method are bad on this kind of problems. I will introduce a method to construct uniformly accurate numerical scheme, more robust on these problems. This method lie on a two-scales reformulation of the initial equation where slow and fast time scale are splitted. We then use the degree of freedom obtained with this reformulation by preparing the initial condition using Chapman-Enskog expansion. This talk will be illustrated convergence order curves.