Nous commencerons l'exposé par la présentation de résultats et de problèmes qui font le lien entre la théorie spectrale du laplacien et la dynamique du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Nous étudierons ensuite, si le temps nous le permet, les questions analogues dans le cas plus simple de l'application du chat d'Arnold agissant sur le tore de dimension 2.

L’espace pseudo-hyperbolique H2,n est l’analogue pseudo- Riemannien de l’espace hyperbolique. Dans cet exposé, j’expliquerai comment résoudre le problème de Plateau asymptotique dans cet espace : étant donné un cercle topologique dans le bord à l’infini de H2,n, nous construisons une unique surface maximale complète qui s’appuie sur ce cercle. Cette construction repose sur la théorie des courbes pseudo-holomorphes développée par Gromov. Il s’agit d’un travail en commun avec François Labourie et Mike Wolf.

Nous établissons une classification partielle des variétés riemanniennes complètes portant une fonction non triviale satisfaisant une équation de type Obata que nous préciserons. Travaux en commun avec Ines Kath, Université de Greifswald, et Georges Habib, Université Libanaise.

Référence : https://hal.science/hal-04035302v1

La systole d'une surface hyperbolique est la longueur de la géodésique fermée la plus courte sur la surface. Déterminer la systole maximale possible d'une surface hyperbolique d'une topologie donnée est une question classique en géométrie hyperbolique. Je vais parler d'un travail commun avec Mingkun Liu sur la question de ce que les constructions aléatoires peuvent apporter à ce problème d'optimisation.

Les connexions hermitiennes de Yang-Mills (HYM) apparaissent en théorie de jauge comme solutions d'un problème de minimisation de courbure pour une métrique hermitienne sur un fibré vectoriel holomorphe donné. La célèbre correspondance de Kobayashi-Hitchin relate leur existence à une notion de "stabilité" en géométrie algébrique. Malgré cela, il reste difficile en général de déterminer si un fibré donné admet une telle connexion. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle construction de connexions HYM, via des "pullbacks" le long d'éclatements entre variétés de Kähler. Ceci est basé sur des travaux en collaborations avec A. Clarke, et L. Sektnan.

Les variétés de Vaisman forment une classe spéciale des variétés hermitiennes. Elles sont non-kähleriennes, cependant elles sont munies d'un feuilletage holomorphe transversalement kählerien, et de ce fait héritent des propriétés analogues à celles provenant de la géométrie kählerienne. L'annulation de la première classe de Chern d'une variété de Vaisman se traduit en une condition sur la classe de Bott-Chern. Cette dernière a un signe qui determine un des trois comportements possibles de la variété, concernant l'existence des métriques de Vaisman canoniques, le groupe de biholomorphismes ainsi que leurs petites déformations.

Nous montrons que la première valeur propre du Laplacien admet un maximum parmi les métriques riemanniennes d’aire fixée sur une surface compacte orientable sans bord, quel que soit son genre. La réponse à cette question n’était connue que pour des topologies de genre petit, et restait ouverte depuis les travaux fondateurs de Hersch 1970 (sphère), ou Berger 1973, Nadirashvili 1996 (tores).