Nous prouvons un théorème d'interpolation pour des fonctionnelles nonlinéaires définies sur des échelles d'espaces de Banach qui généralisent les espaces de Besov. La démonstration est auto-contenue et indépendante de tout résultat antérieur concernant la théorie de l'interpolation. Comme corollaire, nous en déduisons un théorème de continuité automatique pour le flot d’une équation quasi-linéaire. Précisément, nous montrons que la continuité de celui-ci découle automatiquement des estimations qui sont habituellement prouvées pour prouver l’existence et l’unicité des solutions.

A compact invariant set of a flow is called locally maximal when it is the largest invariant set in some neighborhood. In this talk, based on joint work with Erman Cineli, Viktor Ginzburg, and Basak Gürel, I will present a "forced existence" result for the closed orbits of certain Reeb flows on spheres of arbitrary odd dimension:

• If the contact form is non-degenerate and dynamically convex, the presence of a locally maximal closed orbit implies the existence of infinitely many closed orbits.

• If the locally maximal closed orbit is hyperbolic, the assertion of the previous point also holds without the non-degeneracy and with a milder dynamically convexity assumption.

These statements extend to the Reeb setting earlier results of Le Calvez-Yoccoz for surface diffeomorphisms, and of Ginzburg-Gürel for Hamiltonian diffeomorphisms of certain closed symplectic manifolds.

The method of moments is commonly used to reduce a kinetic equation into a fluid model. In this talk, I will present this technique as a semi-discretization with respect to the kinetic variable. I will focus on the main properties expected for this approximation, namely the positivity of an underlying kinetic approximation, a.k.a. the realizability, the strong or weak hyperbolicity and the entropy dissipation of the resulting system. I will present some novelties around these approximations, classified in three categories: the quadrature-based methods, the entropy-based methods and the realizability-based methods. Eventually, I will give some ideas on how to analyze such approximations and illustrate it on some kinetic toy problems.

Le but de cet exposé est de mieux comprendre les relations entre la contrôlabilité exacte des EDP non linéaires et la théorie du contrôle des EDO, basée sur les crochets de Lie, à travers l'étude de l'EDP de Schrödinger avec contrôle bilinéaire. Nous nous concentrons sur la contrôlabilité locale en temps réduit (STLC) autour d'un équilibre, lorsque le système linéarisé n'est pas contrôlable. Nous étudions le terme d'ordre 2 dans le développement de Taylor de l'état, par rapport au contrôle. Pour les EDO avec un seul contrôle scalaire, les termes quadratiques ne permettent jamais de retrouver la contrôlabilité : ils induisent des dérives signées dans la dynamique. Ainsi, pour prouver la STLC, il faut aller au moins jusqu'au troisième ordre. Des résultats similaires ont été prouvés par Mégane Bournissou pour l'EDP bilinéaire de Schrödinger avec contrôle scalaire. Dans cet exposé, nous nous concentrons sur des systèmes avec plusieurs contrôles scalaires. Nous clarifions, parmi les crochets de Lie quadratiques, ceux qui permettent de récupérer de la contrôlabilité : ils sont bilinéaires par rapport à 2 contrôles différents. Pour les EDO, ce résultat est une conséquence de la condition suffisante de Sussman S(θ), mais nous proposons une nouvelle preuve, conçue à préparer le transfert aux EDP. Cette preuve repose sur une nouvelle formule de représentation de la solution, inspirée de la formule de Magnus. En l'adaptant, nous prouvons un nouveau résultat de STLC pour l'EDP de Schrödinger bilinéaire.

L'étude des sommes de variables aléatoires i.i.d est un sujet largement étudié depuis le début du 20e siècle. Les résultats les plus connus sont probablement la loi forte des grands nombres et le théorème central limite. Le premier montre que sous l'hypothèse de l'existence d'une espérance finie, la moyenne empirique d'une somme de variables aléatoires converge P-p.s. vers l'espérance de la loi. Le deuxième montre que sous l'existence d'un moment d'ordre 2, la somme partielle d'ordre n recentrée et renormalisée par n^{1/2} converge en loi vers une loi normale centrée. Dans ce séminaire, je présenterai différents résultats qui améliorent la compréhension voire généralisent ces théorèmes à des familles de v.a. plus larges. Enfin je tenterai de répondre à la question suivante : à quelle vitesse une somme de variables i.i.d. positives à densité sort-elle de tout compact ?