In this presentation, we study various continuous finite element discretization for one and two dimensional hyperbolic partial differential equations, varying the polynomial space: Lagrangian on equispaced, Lagrangian on quadrature points (Cubature) and Bernstein; the stabilization techniques: streamline-upwind Petrov–Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale stabilization; and the time discretization: Runge–Kutta (RK), strong stability preserving RK and deferred correction (DeC). The last one allows to alleviate the computational cost as the mass matrix inversion is replaced by the high order correction iterations. To understand the effects of these different combinations, we propose both timecontinuous and fully discrete Fourier analysis. These allow to compare all of them in terms of accuracy and stability, as well as to provide suggestions for optimal values discretization parameters involved. The results are thoroughly verified numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities, in order to show how to use these methods for tests of practical interest.

L'exposé portera sur des travaux en collaboration avec Simon Jubert, sur les invariants beta et delta analytique à poids. Il s'agit pour delta de la meilleure constante de coercivité pour l'entropie pondérée, dans le cadre de l'approche variationnelle à l'existence de métriques à courbure scalaire pondérée constante. Pour beta, il s'agit de la plus grande borne inférieure sur la courbure de Ricci pondérée. Je présenterai le lien entre les deux ainsi que des applications à l'existence de métriques Kählériennes canoniques via une version "réduite" de l'invariant delta analytique à poids.

Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Bergman Kähler-Einstein est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve repose sur l'asymptotique des dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques s'approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail en collaboration avec M. Xiao.

[French]

Après avoir introduit les noeuds legendriens, nous discuterons de quelques liens avec leur pendant symplectique, les sous-variétés lagrangiennes. Cela nous permettra d'introduire une relation entre les noeuds legendriens qui descend à leurs classes d'isotopies. Nous nous intéresserons plus particulièrement à des résultats qui lient la topologie d'un remplissage lagrangien exact au type d'isotopie legendrienne du noeud.

[English]

In this talk, we'll first introduce legendrian knots together with connections with their symplectic counterpart, lagrangian submanifolds. We'll then discuss how those connections allow to define a relation between legendrian knots that descends to their isotopy classes. Finally, we'll focus on results that link the topology of an exact lagrangian filling of a legendrian knot and the isotopy type of this knot.

Je présenterai une motivation de mon sujet de thèse, à savoir: le relevé du flot magnétique géodesique de $S^2$ à $S^3$ interprété par des symétries quaternioniques (Albers-Geiges-Zehmisch), et des généralisations (projets en cours).

Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d’un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini-Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Dans cet exposé, on s'intéresse à des estimations de décroissance locale pour l’équation des ondes dans un cadre asymptotiquement Euclidien. En dimensions paires, on va au-delà de la décroissance optimale en fournissant le profil asymptotique à long terme, donné par une solution de l’équation des ondes libres. En dimensions impaires, on améliore les meilleures estimations connues. En particulier, on obtient un taux de décroissance qui dépasse la décroissance optimale en dimensions paires.

L’analyse repose principalement sur une comparaison de la résolvante correspondante avec la résolvante du problème libre pour les basses fréquences. De plus, tous les résultats s’appliquent à l’équation des ondes amorties avec un indice d’absorption à courte portée.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Royer.

Dans cet exposé, on présentera les enjeux de la simulation numérique en temps grand de certains systèmes dissipatifs. Sur un exemple simple d’une équation de convection-diffusion, on montrera comment construire des méthodes numériques compatibles avec les états d’équilibre et qui préservent le comportement en temps du modèle continu.