On s'intéresse à un système de N particules dans le régime de champ moyen, c'est-à-dire avec des interactions de faible intensité (d'ordre 1/N) mais à longue distance (d'ordre 1). Sur les temps courts (d'ordre 1), ce système est décrit par l'équation de Vlasov, qui est conservative. Sur des temps beaucoup plus longs (d'ordre N), par contre, la théorie de Lenard-Balescu prédit la relaxation du système vers l'équilibre (au sens fort, avec de la dissipation d'entropie). Formellement, cette relaxation lente s'explique par les corrélations entre les particules. Cependant, aucune justification rigoureuse n'a été obtenue à ce jour: les seuls résultats sont des preuves de consistance (dérivation au temps 0).

Dans cet exposé, nous revisitons le problème en partant d'un modèle simplifié, qui s'inspire de la version linéaire du problème (due à Duerinckx et Saint-Raymond) et dans lequel la hiérarchie BBGKY est tronquée à un ordre arbitraire. Partant d'une approche perturbative en diagrammes de Feynman, utilisant des idées de renormalisation, et des estimations hypoelliptiques pour les propagateurs renormalisés, nous parvenons à atteindre le temps cinétique (d'ordre N) pour ce modèle.

Fibered links are those whose complement admits a fibration over the circle. They admit a simple description in terms of an open book, consisting of a fiber surface together with a self-diffeomorphism (called the monodromy), which is the return map of the fibration. This structure allows us to prove several results for fibered links. In this talk I will explain how to extend the concept of monodromy to all links, and show that it can be used to extend previous results to non-fibered links.

Les arrangements de droites dans le plan projectif — autrement dit, les unions finies de droites — apparaissent dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment en topologie, en algèbre et en combinatoire. De nombreuses questions restent cependant ouvertes. Par exemple, la classification complète des arrangements complexes sans points doubles demeure inconnue, tout comme la liste exhaustive des arrangements simpliciaux réels, où les régions délimitées par les droites sont exclusivement triangulaires.

Dans l'idée de produire de nouveaux arrangements présentant des propriétés remarquables, nous introduisons des opérateurs agissant sur l’ensemble des arrangements de droites du plan.

Au cours de cet exposé, je présenterai des espaces de modules d’arrangements de droites invariants sous l’action de tels opérateurs. En particulier, nous verrons que la surface elliptique K1(n), située au-dessus de la courbe elliptique modulaire X1(n) (laquelle paramètre les courbes elliptiques munies d’un point de torsion d’ordre n > 3) peut également être interprétée comme la compactification de l’espace de modules de certains arrangements de droites.

Nous examinerons ensuite l’existence d’un opérateur agissant sur ces arrangements et, par conséquent, sur la surface elliptique K_1(n), et nous décrirons en détail son action.

Travail en collaboration avec Lukas Kühne (Bielefeld).

Dans cette présentation, nous montrons que sur une variété riemannienne compacte, la famille de métriques conformes dont la courbure scalaire est contrôlée et dont la première valeur propre du Laplacien conforme est uniformément minorée reste compacte : aucune concentration ou explosion ne peut se produire.

Quels espaces lenticulaires admettent un plongement lisse et injectif dans le plan projectif complexe ? Combien peut-on en plonger, tels qu'il soient deux à deux disjoints ? La question vient de la géométrie algébrique complexe, où Hacking et Prokhorov donnent une réponse complète en termes de triplets de Markov. Le même résultat est valable en géométrie symplectique, comme montré par Evans et Smith. Topologiquement, la situation est plus riche, et des exemples non-symplectiques ont été donnés par Lisca et Parma. Dans cet exposé, je parlerai de nouvelles obstructions et constructions. Il s'agit d'un travail commun avec Brendan Owens.

Dans un travail en collaboration avec Georgios Dimitroglou Rizell et Paolo Ghiggini nous associons à une sous-variété lagrangienne compacte L d'une variété de Weinstein W une représentation d'une algèbre différentielle graduée associée à W. Cette représentation a deux propriétés : son degré est caractérisé par l'intersection de la lagrangienne avec les co-âmes lagrangiennes de W et son espace de morphismes (dérivé) calcule l'homologie singulière de L. L'outil principal pour effectuer ce calcul est un triangle exact en homologie de Cthulhu que nous détaillerons dans cet exposé. Les définitions de base ainsi que le contexte dans lequel cette construction peut-être intéressante seront rappelés au préalable. Si le temps le permet, nous verrons comment dans un travail en cours nous plaçons cette construction dans un contexte plus catégorique.

Soit C une courbe algébrique réelle. Un morphisme C -> P^1 est séparant si la préimage des points réels de P^1 est exactement la partie réelle de C. Le degré d'un tel morphisme est nécessairement supérieur au nombre de composantes de la partie réelle de C. Mais existe-t-il des morphismes séparants de degré égal au nombre de composantes ? Dans cet exposé on présentera une obstruction à l'existence de morphismes séparants de petit degré. Il s'agit d'un travail en cours avec A. Demory et A. Toussaint, basé sur un article de M. Manzaroli..

Given an isolated singular point in a complex surface, its link is the intersection of the surface with a small sphere centered at the singular point. The link is a smooth 3-manifold that reflects the topology of the singularity. The link has a natural contact structure, and one can ask questions about its contact and symplectic topology, for example, try to describe symplectic 4-manifolds that the link can bound. A family of symplectic (even Stein) fillings is provided by possible smoothings of the singularity; it is then interesting to compare algebro-geometric smoothings and general Stein fillings. We will discuss this question for sandwiched singularities, a subclass of rational singularities where smoothings are well understood due to de Jong-van Straten work from 1990s: a dimensional reduction allows to reconstruct all Milnor fibers from deformations of associated singular plane curve germs. We build a symplectic analog of this theory to describe Stein fillings in terms of certain immersed disk arrangements in a very similar way. However, we also show that this method allows to build Stein fillings whose topology is different from that of any Milnor fibers.

The talk is based on joint work with Starkston and Beke-Starkston.