En recollant les côtés opposés d'un carré on obtient un tore
muni d'une métrique plate héritée de la métrique euclidienne du plan.
De la même façon, on peut créer des surfaces de genre plus grand en
recollant des côtés parallèles de plusieurs carrés. Ces "surfaces à
petits carreaux" sont naturellement munies d'une métrique plate à
singularités coniques. Dans cet exposé, je présenterai des résultats
récents et des conjectures sur la géométrie de ces surfaces (et de
familles plus générales de surfaces plates) en grand genre (travail en
collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich).
J'expliquerai également comment on peut interpréter ces résultats en
terme de courbes fermées sur les surfaces, et en termes de méandres.

An element $g$ of an abstract group $G$ is a distortion element if there exists a finite family $S$ in $G$ such that $g\in\langle S\rangle$ and the word-length of $g^n$ (w.r.t. $S$) grows sublinearly in $n$. This is a very general group theoretic notion, but does it have a dynamical interpretation when $G$ is a group of diffeomorphisms? In this talk, we will focus on diffeomorphisms of the closed interval in different regularities. In particular, we will present some natural obstructions to distortion (such as the presence of hyperbolic fixed points in $C^1$ regularity and the positivity of the so-called asymptotic variation in $C^2$ regularity (and higher)), and we will wonder whether they are the only ones.