Que devient un système dynamique avec le temps ? Où se dirigent ses points, où retournent-ils, et quelle est la complexité de leurs trajectoires ? À travers des exemples, nous explorerons des notions fondamentales comme la périodicité, l’intégrabilité et l’entropie. Nous verrons comment la géométrie du système peut contraindre le mouvement. Si le temps le permet, nous ferons un petit tour dans le monde de la dynamique symplectique. Aucun prérequis n’est nécessaire, si ce n’est une licence en math. Des notions en géométrie différentielle peuvent être utiles, mais pas indispensables.

Dans cet exposé, je proposerai une introduction à l’ergodicité quantique. On considère une variété riemannienne compacte lisse, ainsi que l’opérateur de Laplace–Beltrami associé, qui possède un spectre discret et une base hilbertienne de fonctions propres. Du point de vue de la mécanique quantique, les densités de probabilité associées à ces fonctions propres décrivent la probabilité de présence d’une particule en un point de la variété. Une question centrale est de comprendre comment ces mesures se répartissent lorsque l’énergie tend vers l’infini, et en quoi ce comportement reflète la dynamique du flot géodésique. Afin d’illustrer ces notions, je présenterai un exemple dans un cadre euclidien muni d’un champ magnétique, où apparaissent concrètement les différentes notions évoquées.

In this talk I will introduce the quenched Edwards--Wilkinson equation, which models the growth of an interface among an obstacle field. Due to the elasticity effect of the laplacian, obstacle may slow down or stop the growth of the interface. When the driving force is low and there is enough disorder of the obstacle field, the interface may get pinned. But for a large enough driving force, there is a positive speed of propagation of the interface. I will give the intuition for this phenomenon, mention what is done in the literature and then will turn to this equation with a Gaussian disorder, which is white in the spatial component. Due to the irregularity we need tools from Rough Paths, like the (stochastic) sewing lemma and regularisation by noise in order to show well-posedness. I will explain the idea behind these tools and how we apply them. This is joint work with Toyota Matsuda and Jaeyun Ji.

Le problème inverse de l’électrophysiologie cardiaque vise à reconstruire l’activité électrique du cœur à partir de mesures non invasives de potentiels électriques à la surface du torse. Ce problème est mathématiquement mal posé au sens de Hadamard, ce qui le rend particulièrement difficile à résoudre. Il est classiquement formulé comme un problème de minimisation contraint par une équation aux dérivées partielles. Dans un premier temps, je présenterai une approche visant à mieux contraindre ce problème par l’élaboration d’un nouveau modèle d’EDP de contrainte. Dans un second temps, j'introduirai une approche complémentaire, fondée sur le filtrage bayésien, permettant de mieux intégrer et visualiser les incertitudes associées à la résolution du problème et aux résultats obtenus.

Consider a particle randomly moving in a bounded (planar) domain starting at any given point within. Assume it bounces against the boundary and consider $\Sigma$, a small part of that boundary. What is the expected time we need to wait before the particle hits $\Sigma$ ? This question is known as the narrow escape problem. We can also consider the related question : what is the probability that the particle hits $\Sigma$ before another given subset of the boundary $\Gamma$ ? In this talk, I will address these questions and give quantitative answers in the asymptotic regime where the lengths of the windows tend to 0. To tackle the problem, I will prove a Feynman-Kac formula, linking the stochastic process studied to a deterministic PDE which has the form of a Poisson equation with mixed boundary conditions. Then, constructing appropriate quasimodes to this PDE, we are able to derive sharp asymptotics for the expected time and probabilities.

Pendant ma thèse j'ai construit l'espace des modules d'une certaine classe de connexions méromorphes et j'ai étudié le feuilletage isomonodromique induit par la fibration de Riemann-Hilbert. L'espace des modules en question est modelé sur un fibré en droites qui a pour base l'espace des modules des courbes rationnelles irrégulières. Après avoir donné quelques définitions, on étudiera l'espace des modules des courbes, sa compactification à la Deligne-Mumford, et son lien avec les connexions méromorphes en question.

In dimensions greater than four, the classification of smooth manifolds is an unsolvable problem, but manifolds can still be classified up to cobordism.

From this perspective, Liouville cobordisms provide a powerful tool for studying contact manifolds in high dimensions. In this talk, I will explain how Liouville cobordisms can be used to construct exact locally conformally symplectic (LCS) manifolds, in particular the LCS mapping tori associated with a contactomorphism. I will then use this construction to study the isomorphism classes of LCS mapping tori and explore their connections with the contact mapping class group.

Le patchwork combinatoire est une puissante méthode utilisée pour construire des hypersurfaces algébriques réelles avec du contrôle sur sa topologie. Dans cet exposé, je discuterai d'une généralisation de cette méthode en codimension supérieure grâce à la notion de structure de phase réelle. En codimension 2, on donne une nouvelle description explicite (basée sur des triangulations, distributions de signes et orientations d'arêtes) des T-variétés (les variétés obtenues par patchwork) proche de la description originale de Viro pour les hypersurfaces. Cette méthode permet d'obtenir une famille de T-courbes maximales dans l'espace projectif de dimension 3. En grande codimension, on présente de nouvelles bornes sur le nombre de composantes connexes qui montrent qu'on ne peut pas obtenir de T-courbes ou T-surfaces maximales