Many computational methods across Bayesian statistics aim at constructing parametric probability distributions with properties of interest. One can think of variational inference or adaptive importance sampling for instance. The construction of such distributions can often be formulated as the minimization of a statistical divergence, such as the Kullback-Leibler divergence, over a family of approximating distributions. Depending on the choice of statistical divergence and approximating distributions, the resulting divergence-minimization problem may promote solutions with different features and may be more or less hard to solve. For instance, some problems are convex, promote mass-covering approximations, but may induce hard-to-approximate gradients, while other are non-convex, promote mode-seeking approximating distributions, and have easy-to-approximate gradients.

In this talk, I will discuss some considerations related to the choice of statistical divergence and approximating distributions and present recent results and algorithms to solve some particular classes of divergence-minimization problems. These results leverage tools from stochastic optimization and convex analysis that allow to capture the geometric features of divergence-minimization problems.

Consider a group of individuals who form a social network. For each individual in the group compute its friendship-bias, i.e., the difference between the average number of friends of its friends and the number of its friends (all friendships are mutual), and average these numbers over all the individuals in the group. It turns out that the latter average is always non-negative, and is strictly positive as soon as not all individuals have exactly the same number of friends. This fact, which at first glance seems counterintuitive, goes under the name of friendship paradox.

Based on joint work with Rajat Hazra (Leiden), Nelly Litvak (Eindhoven) and Azadeh Parvaneh (Leiden).

Depuis les travaux de Lebeau et Robbiano (1995), il est connu que l'équation de la chaleur est contrôlable depuis des sous-ensembles qui satisfont une inégalité spectrale : les normes L² sur le sous-ensemble et sur la variété doivent être équivalentes pour des fonctions à support spectral borné, avec une constante qui croît au plus exponentiellement en le seuil de fréquence.

Après avoir introduit ces notions, je parlerai d'une collaboration en cours avec Alix Deleporte (Université Paris-Saclay) et Jean Lagacé (King's College London), dans laquelle nous caractérisons les ensembles satisfaisant cette inégalité spectrale sur n'importe quelle variété à courbure sectionnelle bornée. La condition nécessaire et suffisante, dite d'épaisseur, est une condition d'équidistribution de la mesure de l'ensemble dans toute la variété. Si le temps le permet, j'expliquerai comment l'inégalité spectrale et la notion d'épaisseur interagissent avec la géométrie du problème, et quelles conséquences de l'hypothèse de courbure bornée sont pertinentes dans l'étude. Les outils employés combinent théorie du contrôle, analyse géométrique et analyse harmonique.

Un résultat classique de Green nous dit que toute n-variété à scal≥n(n-1) a son rayon d'injectivité majoré par π et que l'égalité est atteinte uniquement par la sphère. On montrera comment des avancés récentes initiées par Gromov permettent dans certains cas de renforcer cette majoration sous certaines contraintes topologiques excluant la sphère. Par exemple en dimension 3 on montrera qu’une variété ouverte à scal≥6 a un rayon d’injectivité inférieur à 2π/3. Si le temps le permet, on montrera aussi comment ces inégalités se généralisent pour des conditions spectrales de positivités sur la courbure scalaire.

En relativité générale, l’univers est modélisé par une variété lorentzienne de dimension quatre satisfaisant les équations d’Einstein. Un résultat fondamental de Choquet-Bruhat et Geroch (1969) établit l’existence et l’unicité d’un développement maximal associé à une donnée initiale. Ces solutions relèvent du cadre des espaces-temps globalement hyperboliques, lesquels sont naturellement munis d’une relation d’ordre partiel, conduisant à la notion d’extension maximale.

Dans cet exposé, je m’intéresserai à ces questions dans le contexte des espaces-temps globalement hyperboliques conformément plats. En 2013, C. Rossi a démontré l’existence et l’unicité d’une extension maximale dans ce cadre. Toutefois, sa preuve ne fournit pas de description explicite de cette extension.

Je présenterai une approche alternative et constructive, fondée sur la notion d’espace enveloppant, au sein duquel l’extension maximale se réalise de manière explicite. J’illustrerai cette construction par plusieurs exemples.

Une structure de produit conforme sur une variété riemannienne $(M,g)$ est une connexion de Weyl (c'est-à-dire une connexion sans torsion qui préserve la classe conforme de la métrique $g$) à holonomie réductible. Nous classifions ces structures dans le cas où $M$ est compacte et $g$ est compatible avec une structure kählerienne. C'est un travail en collaboration avec Mihaela Pilca (Regensburg).

Dans cet exposé, j'expliquerai comment étudier les déformations de surfaces hyperboliques de type fini à bord en utilisant un objet combinatoire appelé le complexe des arcs. Il s'agit d'un complexe simplicial à cliques pur, construit en utilisant les classes d'isotopie des arcs sur la surface. Cette approche a été proposée par Danciger-Guéritaud-Kassel dans « Margulis spacetimes via the arc complex » où ils effectuent des déformations en bandelettes d'une surface convexe cocompacte, le long d'une famille maximale d'arcs disjoints afin d'obtenir des déformations « admissibles » qui allongent uniformément toute géodésique sur la surface.

Nous généralisons ce résultat aux surfaces hyperboliques couronnées dont les pointes sont partiellement décorées par des horoboules. Le but de l'exposé est d'illustrer comment la topologie du complexe d'arcs permet de mieux comprendre les déformations admissibles. Dans la première partie, je me concentrerai sur les surfaces dites petites, dont le complexe d'arcs est fini. Dans la seconde partie, je parlerai des surfaces générales et discuterai de la façon dont on peut obtenir une paramétrisation des espaces-temps de Margulis partiellement décorés.

Au cours de cet exposé, je vais introduire la question suivante et discuter des différentes approches possibles permettant d'y répondre:

Problème d'algébricité sur Q: (Parusi\'nski, 2021) Tout ensemble algébrique de $R^n$ est-il homéomorphe à un ensemble Q-algébrique de $R^m$ avec $m \geq n$?

Je vais donner une réponse positive dans le cas des ensembles algébriques réels nonsinguliers et compacts, en démontrant une version sur Q du célèbre théorème de Nash-Tognoli. Si le temps le permet, je discuterai également comment une version relative de ce théorème permet aussi d'aborder le problème d'algébricité sur Q dans le cas singulier, en donnant une réponse positive dans le cas à singularités isolées.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Riccardo Ghiloni.

It remains an open question whether nontrivial linear dependences exist among Seifert fibered spheres in the homology cobordism group. In this talk, we consider an infinite family of homology spheres that form the trivial local equivalence class in involutive Heegaard Floer theory, thereby potentially yielding nontrivial dependences between Seifert fibered spheres in the homology cobordism group. We then focus on a survey of filtered instanton Floer theory. Finally, as an application, we prove that these candidates are linearly independent. In particular, we compare the invariants from the two theories: involutive Heegaard Floer theory and filtered instanton Floer theory. If time permits, we also compare them with Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer theory. This is joint work with Jaewon Lee (KAIST, Korea).

En s'appuyant sur les travaux de Garg, Gurvits, Oliveira et Wigderson, on démontre que les données géométriques de Brascamp-Lieb sont, dans un certain sens, omniprésentes au sein des données admissibles. Cela répond à une question soulevée par Bennett et Tao dans leurs travaux récents sur l'inégalité adjointe de Brascamp-Lieb.