Après avoir introduit les résultats fondateurs de Sogge sur la norme L^p des projecteurs spectraux du Laplacien pour une variété riemannienne compacte, sur un intervalle de fréquence de taille $1$, je présenterai comment obtenir des améliorations sur des intervalles polynomialement fins explicites dans le cadre des surfaces quantiquement complètement intégrables, en particulier pour les surfaces de révolution et pour le disque euclidien, dans les deux régimes de concentration $p=4$ et $p = +\infty$. Cet exposé est partiellement issu de travaux avec Yves Colin de Verdière.

Dans un premier temps, je vous introduirai rigoureusement à la notion de variété algébrique en toute généralité. Puis je me concentrerai sur les variétés projectives avec des "rappels" sur l'espace projectif.

Dans une seconde partie, je vous parlerai de géométrie analytique en faisant le parallèle avec les notions précédentes. J'évoquerai l'idée du principe GAGA de Serre (Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique) et je m'attarderai plus en détail sur le théorème de Chow.

We study the optimal power flow (OPF) problem in electrical distribution networks. The objective is to minimize total line losses subject to the physical constraints governing the network. This optimization problem is inherently non-convex, making it challenging to solve in practice. In particular, classical solution methods may fail to converge to a global minimum.

A common strategy to address this difficulty is to consider a convex relaxation, where the original non-convex feasible set is replaced by a larger convex set. In this work, we focus on a semidefinite programming (SDP) relaxation obtained by dropping a rank constraint on certain matrix variables.

The main goal of this talk is to show that this relaxation is in fact exact, meaning that it yields the same solution as the original OPF problem. To establish this result, we rely on two key ingredients: the characterization of the Pareto front of the feasible sets and the exploitation of the tree structure of the network.

Spatial Lambda-Fleming-Viot processes, or SLFVs, are a family of stochastic processes that have been developed to overcome some issues arising when defining stochastic population dynamics models in a spatial continuum of arbitrary dimension. Their main characteristic is their ''reproduction event-driven'' dynamics that controls local reproduction rates and ensures the existence of a dual process, which is a key tool to the analysis of SLFV processes. In this talk, after giving an overview of this modelling framework, I will present a recent extension to the modelling of epidemics, giving rise to a stochastic SIS-type model in continuous space. I will show to what extent the central concept of basic reproduction number can be extended to this model, using the duality relation along with the characterization of the process as the unique solution to a martingale problem. Based on a joint work with Bastian Wiederhold (LMU).

Understanding how cells migrate through confined environments is crucial for elucidating fundamental biological processes, including cancer invasion, immune surveillance, and tissue morphogenesis. The nucleus, as the largest and stiffest cellular organelle, often limits cellular deformability, making it a key factor in navigating narrow pores or highly constrained spaces. In this talk, I will present a novel geometric surface partial differential equation (GS-PDE) framework in which the cell plasma membrane and the nuclear envelope are modeled as evolving energetic closed surfaces governed by force-balance equations. To validate the model, we replicate a biophysical experiment using a microfluidic device that imposes compressive stresses on cells driven through narrow microchannels under a controlled pressure gradient. I will discuss the results of our parametric sensitivity analysis, which highlights the dominant influence of specific parameters, such as surface tension and confinement geometry, as key determinants of translocation efficiency. Finally, I will show how this framework, while tailored to a specific experimental setup for validation, provides a robust, flexible, and generalizable tool for investigating the broader interplay between cell mechanics and confinement, laying the groundwork for integrating more complex biochemical processes like active migration.

En 1876, Axel Harnack démontre dans un article fondateur

1. que toute courbe algébrique réelle de degré d dans RP^2 a au plus (d-1)(d-2)/2 + 1 composantes connexes.

2. qu'il existe pour tout d une courbe de degré d avec ce nombre de composantes connexes.

Ces résultats sont à la base de moult travaux en topologie des variétés algébriques réelle ces 150 dernières années. La première partie du théorème de Harnack se généralise en l'inégalité dite de Klein-Floyd (aussi appelée Smith-Thom, ou Smith-Floyd, ou encore Smith-Thom-Milnor) pour les variétés algébriques réelles quelconques: la somme des nombres de Betti de la partie réelle est au plus la somme correspondante pour la partie complexe. Malgré de spectaculaires avancées, la généralisation de la deuxième partie du théorème de Harnack reste toujours ouverte dans le cas des hypersurfaces projectives. Pour ces dernières, Itenberg et Viro ont néanmoins montré que l'inégalité de Klein-Floyd est asymptotiquement optimale en utilisant la technique du patchwork combinatoire. Dans un travail en commun avec Michele Ancona et Jean-Yves Welschinger, nous montrons qu'une généralisation élémentaire de la méthode de construction originelle de Harnack en dimension 2 permet d'obtenir cette optimalité asymptotique pour tout fibré en droites ample sur une variété algébrique réelle et les intersections complètes correspondantes. Au-delà des nombres de Betti, nous décrivons aussi le type de difféomorphisme d'un ouvert de ces variétés à la topologie riche.

L'hémodialyse est un procédé médical consistant à rééquilibrer certaines espèces chimiques dans le sang d'un patient via l'usage d'une machine appelée dialyseur. Cette dernière est un groupement de fibres très fines dans lesquelles passe le sang du patient ainsi qu'un fluide (le dialysat) permettant des échanges d'espèces chimiques au travers d'une membrane poreuse. Du point de vue mathématique, cet échange est modélisé par un système de type convection-réaction-diffusion avec des conditions frontières mixtes

Certaines approches médicales modernes ont pour objectif d'apporter des soins davantage personnalisés pour chaque patient ce qui, dans le cadre de l'hémodialyse, nécessite une connaissance approfondie du fonctionnement du dialyseur et en particulier de la manière dont sont échangées les espèces chimiques lors de la dialyse.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons dans un premier temps à la modélisation des écoulements fluides dans le dialyseur, puis détaillerons les méthodes numériques pour la résolution de problèmes inverses permettant d'identifier des coefficients de diffusion d'espèces chimiques clés au travers de la membrane poreuse, ce qui offre une connaissance plus détaillée du mécanisme du dialyseur. Nous conclurons l'exposé par plusieurs perspectives, notamment l’usage de réseaux de neurones informés par la physique (PINNs) pour réduire le coût computationnel, ainsi que la formulation d’un problème de contrôle optimal en vue d’une adaptation personnalisée des protocoles de dialyse.

On s'intéresse à la solution d'une équation différentielle dirigée par un champs de vecteur lui-même perturbé par le mouvement d'une particule suivant la dynamique d'un gaz de Lorentz Z-périodique. Lorsqu'on accélère ce mouvement (et donc la dynamique du système) on peut montrer que la solution converge vers la solution d'une équation différentielle moyennée indépendante de la dynamique dans le gaz de Lorentz.

Dans cet exposé je présenterai la dynamique dans un gaz de Lorentz et établirai ce résultat sous la forme d'un Théorème limite. Enfin je donnerai une idée de la preuve qui repose sur la stabilité du théorème central limite fonctionnel vérifié par des sommes de Birkhoff sur le billard de Sinai et de la mesure de Lebesgue associée.

On s'intéressera au comportement des solutions de l'équation de Laplace au voisinage d'un bord soumis à des conditions aux limites mixtes de type Dirichlet-Neumann. Après avoir illustré numériquement la perte de régularité et ses effets sur la méthode des éléments finis, on introduira les idées de base de l'analyse asymptotique de coin permettant d'expliquer ces phénomènes. On montrera enfin comment une méthode numérique permet de calculer les coefficients de singularité et d'améliorer les simulations sans recourir à un raffinement de maillage coûteux.

Un objet d'étude fondamental en algèbre homologique et homotopique est l'adjonction bar-cobar entre algèbres et cogèbres, reflet algébrique des espaces classifiants et espaces de lacets en topologie depuis les travaux d'Adams, Stasheff et May notamment. Cette dualité a été regroupée avec d'autres variantes sous l’appellation "dualité de Koszul" et généralisée dans un cadre opéradique. La dualité de Koszul joue un rôle fondamental en topologie, que ce soit dans la construction d’invariants, de résolutions, ou l’étude infinitésimale des problèmes de déformations.

Une approche récente due à Lurie implémente une forme de dualité de Koszul adaptée à un cadre purement infini-catégorique et généralisée par Ayala-Francis aux En-algèbres (algèbres sur les opérades des petits disques). Ce cadre a ouvert la voie à de nombreuses applications, parmi elles le développement de l'homologie de factorisation qui permet d'intégrer des En-algèbres sur des variétés pour produire de puissants invariants topologiques. Ces outils sont également devenus incontournables en géométrie algébrique dérivée où de nombreux espaces de modules (typiquement des espaces de modules de fibrés, des variétés de caractères ou des intersections lagrangiennes) possèdent des structures symplectiques et de Poisson décalées paramétrées par ce type d’algèbres.

Ces deux formes de dualité de Koszul sont pourtant incompatibles à première vue : l’une impose la conilpotence et l’autre non, les foncteurs ne sont pas adjoints dans le même sens, les catégories de cogèbres considérées ne sont pas homotopiquement équivalentes. Quels liens y a-t-il alors entre les constructions classiques de la topologie algébrique et les constructions infini-opéradiques ci-dessus ? A-t-on des modèles explicites "point-set" de la dualité d’Ayala-Francis-Lurie ? On apporte ici des réponses précises à ces questions, dans un travail en commun avec Dan Petersen et Victor Roca i Lucio. Cela ouvre la voie à des applications dans les domaines susmentionnés. Si le temps le permet, j'évoquerai quelques perspectives autour de la quantification en géométrie de Poisson dérivée.