Un des premiers problèmes de Géométrie Énumérative étudiés fut le comptage de droites dans hypersurfaces génériques. Par example, on sait qu’une surface cubique générique dans l'espace projectif tridimensionnel contient 27 droites sur le corps des nombres complexes. Dans cet exposé, on se propose d’étudier ce problème sur d'autres corps. La première question à examiner dans ce cas est « comment obtenir des réponses indépendantes de l’hypersurface? ». Sur les nombres réels, chaque droite doit être comptée avec un signe +1 ou -1. En général, les signes deviennent des formes quadratiques. La deuxième question apparaît naturellement: quelle est l’interprétation géométrique de ces formes quadratiques? On explique comment répondre à cette question pour presque tous les corps en généralisant des idées de Finashin et Khalarmov sur les nombres réels. Ce travail est en collaboration avec Sabrina Pauli et Stephen McKean.

Le 21ème problem de Hilbert (1900) a amené beaucoup de matematicien.nes à étudier des ODE sur la droite complexe. Ici tout est plus bizarre: il suffit de penser que le logarithme complexe n'est pas bien défini (ce qui, vous pouvez imaginer, pose pas mal des soucis pour l’intégration). Le problème de Hilbert a ensuite évolué avec le temps. On s'est rendu compte que la droite complexe était "trop petite" pour répondre à la question, et qu'il fallait plutôt travailler sur la sphère de Riemann, qui est la compactification naturelle de $\mathbb{C}$ en rajoutant un point que l'on appelle "l'infini". En partant d'un petit théorème topologique et d'un exemple simple et classique on présentera les systèmes de ODE de rang deux sur la sphère de Riemann et leur monodromie.

L’optimisation globale de fonctions polynomiales sous contraintes algébriques est un défi majeur, classé comme NP-difficile en raison de la difficulté à certifier la non négativité d’un polynôme. Cet exposé présentera comment la programmation semidéfinie (SDP) et la méthode des sommes de carré (SOS) permettent de contourner ce verrou en transformant des problèmes non-convexe en une suite de relaxations convexes traitables. Nous explorerons également la hiérarchie des moments-SOS, qui établit un pont entre l’algèbre et la théorie des mesures pour garantir la convergence vers l’optimum globale.

Cette présentation est une introduction à la méthode de Stein, un moyen de caractériser une mesure de probabilité par un opérateur et une classe de fonctions. Son application principale est d’obtenir des bornes sur la distance entre deux mesures de probabilités. En particulier, cela permet d’obtenir des vitesses de convergence pour la convergence d’une suite de variables aléatoires vers une loi cible.

Many computational methods across Bayesian statistics aim at constructing parametric probability distributions with properties of interest. One can think of variational inference or adaptive importance sampling for instance. The construction of such distributions can often be formulated as the minimization of a statistical divergence, such as the Kullback-Leibler divergence, over a family of approximating distributions. Depending on the choice of statistical divergence and approximating distributions, the resulting divergence-minimization problem may promote solutions with different features and may be more or less hard to solve. For instance, some problems are convex, promote mass-covering approximations, but may induce hard-to-approximate gradients, while other are non-convex, promote mode-seeking approximating distributions, and have easy-to-approximate gradients.

In this talk, I will discuss some considerations related to the choice of statistical divergence and approximating distributions and present recent results and algorithms to solve some particular classes of divergence-minimization problems. These results leverage tools from stochastic optimization and convex analysis that allow to capture the geometric features of divergence-minimization problems.

Consider a group of individuals who form a social network. For each individual in the group compute its friendship-bias, i.e., the difference between the average number of friends of its friends and the number of its friends (all friendships are mutual), and average these numbers over all the individuals in the group. It turns out that the latter average is always non-negative, and is strictly positive as soon as not all individuals have exactly the same number of friends. This fact, which at first glance seems counterintuitive, goes under the name of friendship paradox.

Based on joint work with Rajat Hazra (Leiden), Nelly Litvak (Eindhoven) and Azadeh Parvaneh (Leiden).

Depuis les travaux de Lebeau et Robbiano (1995), il est connu que l'équation de la chaleur est contrôlable depuis des sous-ensembles qui satisfont une inégalité spectrale : les normes L² sur le sous-ensemble et sur la variété doivent être équivalentes pour des fonctions à support spectral borné, avec une constante qui croît au plus exponentiellement en le seuil de fréquence.

Après avoir introduit ces notions, je parlerai d'une collaboration en cours avec Alix Deleporte (Université Paris-Saclay) et Jean Lagacé (King's College London), dans laquelle nous caractérisons les ensembles satisfaisant cette inégalité spectrale sur n'importe quelle variété à courbure sectionnelle bornée. La condition nécessaire et suffisante, dite d'épaisseur, est une condition d'équidistribution de la mesure de l'ensemble dans toute la variété. Si le temps le permet, j'expliquerai comment l'inégalité spectrale et la notion d'épaisseur interagissent avec la géométrie du problème, et quelles conséquences de l'hypothèse de courbure bornée sont pertinentes dans l'étude. Les outils employés combinent théorie du contrôle, analyse géométrique et analyse harmonique.

Un résultat classique de Green nous dit que toute n-variété à scal≥n(n-1) a son rayon d'injectivité majoré par π et que l'égalité est atteinte uniquement par la sphère. On montrera comment des avancés récentes initiées par Gromov permettent dans certains cas de renforcer cette majoration sous certaines contraintes topologiques excluant la sphère. Par exemple en dimension 3 on montrera qu’une variété ouverte à scal≥6 a un rayon d’injectivité inférieur à 2π/3. Si le temps le permet, on montrera aussi comment ces inégalités se généralisent pour des conditions spectrales de positivités sur la courbure scalaire.

En relativité générale, l’univers est modélisé par une variété lorentzienne de dimension quatre satisfaisant les équations d’Einstein. Un résultat fondamental de Choquet-Bruhat et Geroch (1969) établit l’existence et l’unicité d’un développement maximal associé à une donnée initiale. Ces solutions relèvent du cadre des espaces-temps globalement hyperboliques, lesquels sont naturellement munis d’une relation d’ordre partiel, conduisant à la notion d’extension maximale.

Dans cet exposé, je m’intéresserai à ces questions dans le contexte des espaces-temps globalement hyperboliques conformément plats. En 2013, C. Rossi a démontré l’existence et l’unicité d’une extension maximale dans ce cadre. Toutefois, sa preuve ne fournit pas de description explicite de cette extension.

Je présenterai une approche alternative et constructive, fondée sur la notion d’espace enveloppant, au sein duquel l’extension maximale se réalise de manière explicite. J’illustrerai cette construction par plusieurs exemples.

Une structure de produit conforme sur une variété riemannienne $(M,g)$ est une connexion de Weyl (c'est-à-dire une connexion sans torsion qui préserve la classe conforme de la métrique $g$) à holonomie réductible. Nous classifions ces structures dans le cas où $M$ est compacte et $g$ est compatible avec une structure kählerienne. C'est un travail en collaboration avec Mihaela Pilca (Regensburg).