L'hémodialyse est un procédé médical consistant à rééquilibrer certaines espèces chimiques dans le sang d'un patient via l'usage d'une machine appelée dialyseur. Cette dernière est un groupement de fibres très fines dans lesquelles passe le sang du patient ainsi qu'un fluide (le dialysat) permettant des échanges d'espèces chimiques au travers d'une membrane poreuse. Du point de vue mathématique, cet échange est modélisé par un système de type convection-réaction-diffusion avec des conditions frontières mixtes

Certaines approches médicales modernes ont pour objectif d'apporter des soins davantage personnalisés pour chaque patient ce qui, dans le cadre de l'hémodialyse, nécessite une connaissance approfondie du fonctionnement du dialyseur et en particulier de la manière dont sont échangées les espèces chimiques lors de la dialyse.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons dans un premier temps à la modélisation des écoulements fluides dans le dialyseur, puis détaillerons les méthodes numériques pour la résolution de problèmes inverses permettant d'identifier des coefficients de diffusion d'espèces chimiques clés au travers de la membrane poreuse, ce qui offre une connaissance plus détaillée du mécanisme du dialyseur. Nous conclurons l'exposé par plusieurs perspectives, notamment l’usage de réseaux de neurones informés par la physique (PINNs) pour réduire le coût computationnel, ainsi que la formulation d’un problème de contrôle optimal en vue d’une adaptation personnalisée des protocoles de dialyse.

On s'intéresse à la solution d'une équation différentielle dirigée par un champs de vecteur lui-même perturbé par le mouvement d'une particule suivant la dynamique d'un gaz de Lorentz Z-périodique. Lorsqu'on accélère ce mouvement (et donc la dynamique du système) on peut montrer que la solution converge vers la solution d'une équation différentielle moyennée indépendante de la dynamique dans le gaz de Lorentz.

Dans cet exposé je présenterai la dynamique dans un gaz de Lorentz et établirai ce résultat sous la forme d'un Théorème limite. Enfin je donnerai une idée de la preuve qui repose sur la stabilité du théorème central limite fonctionnel vérifié par des sommes de Birkhoff sur le billard de Sinai et de la mesure de Lebesgue associée.

On s'intéressera au comportement des solutions de l'équation de Laplace au voisinage d'un bord soumis à des conditions aux limites mixtes de type Dirichlet-Neumann. Après avoir illustré numériquement la perte de régularité et ses effets sur la méthode des éléments finis, on introduira les idées de base de l'analyse asymptotique de coin permettant d'expliquer ces phénomènes. On montrera enfin comment une méthode numérique permet de calculer les coefficients de singularité et d'améliorer les simulations sans recourir à un raffinement de maillage coûteux.

En 2006, Ono a prouvé la "Conjecture de flux C¹", en toute généralité : pour toute variété symplectique, le groupe des difféomorphismes hamiltoniens est fermé dans celui des symplectomorphismes en topologie C¹. Dans cet exposé, je vais rappeler le contexte de ce résultat profond et expliquer que (comme souvent) la situation est plus subtile quand on s'intéresse aux questions analogues dans le cadre de l'étude des sous-variétés lagrangiennes. D'un côté, je vais décrire une situation relativement générale dans laquelle l'équivalent du théorème de Ono n'est pas satisfait, de l'autre, je vais discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il le soit. La seconde partie est basée sur une nouvelle variante lagrangienne du morphisme de flux symplectique.

La dynamique linéaire s’intéresse à l’évolution à long terme des itérations d’un opérateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach ou de Fréchet. Malgré la simplicité apparente du cadre linéaire, ce type de systèmes peut présenter des comportements très riches, voire inattendus. Un résultat important en ce sens est le critère de Godefroy–Shapiro, qui relie l’abondance de vecteurs propres à l’existence d’orbites denses. Dans cet exposé, je me concentrerai sur les opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Hardy et expliquerai comment leur comportement dynamique est rélié à des propriétés géométriques de leur symbole.

En 2022, Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich ont produit des estimées, pour les surfaces de grand genre, des fréquences relatives de multi-courbes simples. En particulier, leurs travaux montrent que la fréquence relative des courbes séparantes et non-séparantes tend vers 0 quand le genre grandit : en grand genre les courbes simples sont génériquement non-séparantes. Dans cet exposé on s’intéressera à des questions similaires pour des courbes avec auto-intersections. Comment exprimer leur fréquence ? Comment celle-ci se comporte-t-elle en grand genre ? Que dire des fréquences relatives de deux courbes données ? A quoi ressemble une courbe générique avec auto-intersections ? Ceci est un travail en collaboration avec M.Liu, K. Rafi, et J.Souto.

Le Patchwork combinatoire de Viro est une puissante méthode de construction d'hypersurfaces algébriques réelles avec un contrôle sur la topologie. Les ingrédients de base de cette méthode sont une triangulation à sommets entiers d'un polytope à sommets entiers, et un signe positif ou négatif fixé sur chaque sommet de la triangulation. Dans le cas d'une triangulation primitive des bornes sur les nombres de Betti de l'hypersurface ont été établies (d'abord par Renaudineau et Shaw, puis dans un cadre plus général par Brugallé, Rau, Lopez de Medrano). Ces bornes ne dépendent que de la triangulation. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation non-primitive de ces bornes, et nous expliquerons pourquoi la non-primitivité fait apparaître dans ces bornes des termes dépendant des signes fixés sur les sommets de la triangulation.