Natural gradient descent (NGD) can be seen as a preconditioned update where parameter changes are driven by a functional perspective. In a spirit similar to Newton’s method, the NGD update uses, instead of the Hessian, the Gram matrix of the generating system of the tangent space to the approximation manifold at the current iterate, with respect to a suitable metric. Although its assemblage and inversion is prohibitively expensive in the context of large machine learning models, it becomes not only feasible but necessary when we look at scientific machine learning problems using models not requiring as many parameters. Sill, both gradient and natural gradient descent will get stuck at any local minima. Furthermore, when the approximation class is a non-linear manifold (i.e. neural networks) or the loss function is other than L² distance (KL-divergence for a classification problem, PDE residual as in physics informed learning) even the natural gradient might yield non-optimal directions at each step. The talk will focus on how we can tackle these situations by introducing a Natural version of classical inertial dynamic methods like Nestorov or Heavy-ball.

The term "slender" refers to structures with a very high ratio between their longitudinal lenght and their transverse dimensions, typically, a cylinder with an height significantly larger than its radius. Because of this particular geometry, many models have been developed to provide a simplified description of the kinematics and dynamics of the structure. A standard approach in this context is to account for the distribution of forces and deformations only along the centerline. Consequently, the velocity fields and equilibrium equations of the structure are described in a one-dimensional (1D) setting. However, when a slender structure is immersed in a three-dimensional (3D) fluid, enforcing kinematic and dynamic coupling conditions on a 1D domain requires the introduction of a double trace operator (codimension 2) which demands regularity for the solution within the fluid domain, a condition which is generally not satisfied a priori. In this talk, I will introduce and analyse a new mathematically sound approach for modelling and solving 3D-1D fluid-structure interaction problems. The main idea is to combine a fictitious domain approach with the projection of the kinematic constraint onto a finite-dimensional space defined along the structure's centerline. The discrete formulation is based on the finite element method and a semi-implicit treatment of the Dirichlet-Neumann coupling conditions, employing a partitioned procedure for the resolution of the fluid-structure interaction problem.

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à deux méthodes numériques indépen- dantes permettant d’accélérer et d’améliorer la résolution des EDP.

Récemment, ParaOpt, un algorithme parallèle en temps a été proposé pour résoudre les systèmes découlant de problèmes de contrôle optimal associés à des équations différentielles partielles (EDP). Cet algorithme combine la résolution des problèmes d’évolution forward/backward avec la boucle d’optimisation. Sa convergence et la précision de l’approximation numérique dépendent du schéma de pas de temps utilisé pour discrétiser le problème. Une première analyse de convergence a été présentée dans M.J. Gander, F. Kwok et J. Salomon SISC (2020) dans le cas restreint de la méthode implicite d’Euler pour les problèmes de contrôle optimal linéaire-quadratique impliquant des systèmes dissipatifs. Dans cette présentation, nous généraliserons ce résultat au cas où une méthode de Runge-Kutta est utilisée pour discrétiser le problème de contrôle optimal. Nous expliquons en particulier comment la discrétisation de la fonctionnelle doit être adaptée au schéma considéré et comment des conditions supplémentaires s’ajoutent aux conditions d’ordre habituel des méthodes de Runge-Kutta pour obtenir l’ordre de convergence attendu. Aphynity [Yuan Yin et al., J. Stat. Mech. (2021) 124012] est une approche consistant à ajouter un terme correctif sous la forme d’un réseau neurone à une EDP afin de prévoir avec précision l’évolution d’un système et d’identifier correctement ses paramètres physiques. L’apprentissage est alors effectué dans la boucle externe du solveur considéré, de sorte que l’entraînement se fait indirectement par le biais d’un schéma en temps. Nous décrirons l’influence du schéma choisi sur le réseau résultant et montrerons, dans des cas particuliers, que l’ordre d’approximation des termes corrigés correspond à l’ordre du schéma utilisé. Nous expliquerons également comment optimiser l’apprentissage par une approche de type Richardson.

In this talk, I will present several recent results, in collaboration with Nicolas Burq, on the control theory of Schrödinger propagators on tori. Our goal is to address the following conjecture: on a torus of arbitrary dimension, Schrödinger propagators with bounded potentials are observable, and therefore controllable, from arbitrary space-time domains of positive Lebesgue measure.

Using a scheme that combines (1) approximation of rough functions by continuous functions, (2) the cluster structure of lattice points near paraboloids, and (3) mathematical induction on the dimension, we reduce the conjecture to certain integrability bounds for linear Schrödinger waves. These bounds are weaker than Bourgain’s conjectured periodic Strichartz estimates but remain nontrivial. In particular, our criteria imply the observability conjecture for the one-dimensional torus.

Applications of our results include Cantor--Lebesgue type theorems and uniform nonvanishing estimates for quantum limits.

Que devient un système dynamique avec le temps ? Où se dirigent ses points, où retournent-ils, et quelle est la complexité de leurs trajectoires ? À travers des exemples, nous explorerons des notions fondamentales comme la périodicité, l’intégrabilité et l’entropie. Nous verrons comment la géométrie du système peut contraindre le mouvement. Si le temps le permet, nous ferons un petit tour dans le monde de la dynamique symplectique. Aucun prérequis n’est nécessaire, si ce n’est une licence en math. Des notions en géométrie différentielle peuvent être utiles, mais pas indispensables.

Dans cet exposé, je proposerai une introduction à l’ergodicité quantique. On considère une variété riemannienne compacte lisse, ainsi que l’opérateur de Laplace–Beltrami associé, qui possède un spectre discret et une base hilbertienne de fonctions propres. Du point de vue de la mécanique quantique, les densités de probabilité associées à ces fonctions propres décrivent la probabilité de présence d’une particule en un point de la variété. Une question centrale est de comprendre comment ces mesures se répartissent lorsque l’énergie tend vers l’infini, et en quoi ce comportement reflète la dynamique du flot géodésique. Afin d’illustrer ces notions, je présenterai un exemple dans un cadre euclidien muni d’un champ magnétique, où apparaissent concrètement les différentes notions évoquées.

In this talk I will introduce the quenched Edwards--Wilkinson equation, which models the growth of an interface among an obstacle field. Due to the elasticity effect of the laplacian, obstacle may slow down or stop the growth of the interface. When the driving force is low and there is enough disorder of the obstacle field, the interface may get pinned. But for a large enough driving force, there is a positive speed of propagation of the interface. I will give the intuition for this phenomenon, mention what is done in the literature and then will turn to this equation with a Gaussian disorder, which is white in the spatial component. Due to the irregularity we need tools from Rough Paths, like the (stochastic) sewing lemma and regularisation by noise in order to show well-posedness. I will explain the idea behind these tools and how we apply them. This is joint work with Toyota Matsuda and Jaeyun Ji.