En 2006, Ono a prouvé la "Conjecture de flux C¹", en toute généralité : pour toute variété symplectique, le groupe des difféomorphismes hamiltoniens est fermé dans celui des symplectomorphismes en topologie C¹. Dans cet exposé, je vais rappeler le contexte de ce résultat profond et expliquer que (comme souvent) la situation est plus subtile quand on s'intéresse aux questions analogues dans le cadre de l'étude des sous-variétés lagrangiennes. D'un côté, je vais décrire une situation relativement générale dans laquelle l'équivalent du théorème de Ono n'est pas satisfait, de l'autre, je vais discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il le soit. La seconde partie est basée sur une nouvelle variante lagrangienne du morphisme de flux symplectique.

Dans un travail en commun avec Anna Florio et Barbara Schapira, nous montrons l'existence d'une mesure d'entropie maximale pour les flots d'une classe de dynamiques que nous appelons les H-flots sous une hypothèse de contrôle de l'entropie à l'infini. Ces flots peuvent être vus comme une généralisation des flots Anosov sur les variétés non compactes et comprennent les flots géodésiques à courbure négative pincée. Ce résultat généralise les résultats de Gouëzel, Schapira et Tapie pour les flots géodésiques.

L'objectif de cet exposé est de présenter l'énoncé de ce résultat d'existence tout en expliquant et motivant la définition de H-flot et l'hypothèse de contrôle de l'entropie à l'infini (appelée hypothèse SPR).

La dynamique linéaire s’intéresse à l’évolution à long terme des itérations d’un opérateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach ou de Fréchet. Malgré la simplicité apparente du cadre linéaire, ce type de systèmes peut présenter des comportements très riches, voire inattendus. Un résultat important en ce sens est le critère de Godefroy–Shapiro, qui relie l’abondance de vecteurs propres à l’existence d’orbites denses. Dans cet exposé, je me concentrerai sur les opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Hardy et expliquerai comment leur comportement dynamique est rélié à des propriétés géométriques de leur symbole.

En 2022, Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich ont produit des estimées, pour les surfaces de grand genre, des fréquences relatives de multi-courbes simples. En particulier, leurs travaux montrent que la fréquence relative des courbes séparantes et non-séparantes tend vers 0 quand le genre grandit : en grand genre les courbes simples sont génériquement non-séparantes. Dans cet exposé on s’intéressera à des questions similaires pour des courbes avec auto-intersections. Comment exprimer leur fréquence ? Comment celle-ci se comporte-t-elle en grand genre ? Que dire des fréquences relatives de deux courbes données ? A quoi ressemble une courbe générique avec auto-intersections ? Ceci est un travail en collaboration avec M.Liu, K. Rafi, et J.Souto.

Le Patchwork combinatoire de Viro est une puissante méthode de construction d'hypersurfaces algébriques réelles avec un contrôle sur la topologie. Les ingrédients de base de cette méthode sont une triangulation à sommets entiers d'un polytope à sommets entiers, et un signe positif ou négatif fixé sur chaque sommet de la triangulation. Dans le cas d'une triangulation primitive des bornes sur les nombres de Betti de l'hypersurface ont été établies (d'abord par Renaudineau et Shaw, puis dans un cadre plus général par Brugallé, Rau, Lopez de Medrano). Ces bornes ne dépendent que de la triangulation. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation non-primitive de ces bornes, et nous expliquerons pourquoi la non-primitivité fait apparaître dans ces bornes des termes dépendant des signes fixés sur les sommets de la triangulation.

Cet exposé présente mes travaux récents sur l'équation de Benjamin–Ono. Ces travaux reposent sur l'extension et l'utilisation de formules explicites pour étudier la limite de zéro dispersion et établir un nouveau schéma numérique.

Premièrement, je présenterai les résultats sur l'extension de la formule explicite et son application à la limite de zéro dispersion. Nous avons étendu la formule explicite pour l'équation de Benjamin–Ono sur la droite aux données initiales à valeurs réelles et de carré intégrable. Cette avancée nous a permis d'étudier rigoureusement la limite de zéro dispersion pour des données initiales plus singulières.

Deuxièmement, je montrerai comment la formule explicite permet de développer un nouveau schéma numérique pour l'équation de Benjamin–Ono sur le cercle. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Yvonne Alama Bronsard et Matthieu Dolbeault. Un point central de ce travail est que nous avons démontré rigoureusement la convergence de ce schéma. Ce schéma, exact en temps et spectral en espace, permet d'étudier efficacement la dynamique en temps long.

Dans cet exposé, on s’intéresse à une stratégie numérique pour reproduire le comportement d’un globule rouge se mouvant dans un milieu fluide et soumis à un stimulus électrique. Pour cela, on s’appuie sur un modèle mécanique dans lequel la cellule est décrite comme une fine membrane élastique séparant le contenu liquide de la cellule de la matrice extérieure. Le défi numérique de ce système est surtout représenté par des conditions de transmission imposées à travers une interface évolutive dans le temps, ainsi que par la manipulation de champs avec des discontinuités à l’interface. La stratégie qu’on propose est basée sur la génération de maillages qui suivent le profil de l’interface, réalisés en découpant un maillage en arrière-plan. L’adoption de maillages adaptés permet de traiter simplement les conditions d’interface, mais l’algorithme de découpage engendre des éléments finis qui ne sont pas des simplexes. Pour faire face à cela, on propose des schémas supportant des maillages génériques.

En particulier, on adopte une méthode de type Hybrid High Order pour résoudre un problème de Stokes avec des conditions de transmission à l’interface, et on introduit un nouveau schéma de type Discrete De Rham pour résoudre le problème elliptique avec interface associé à la variable électrique. Pour ce dernier, on présente un résultat de stabilité ainsi qu’une estimation d’erreur a priori.

Introduite par Haiden, Katsarkov et Kontsevich, la catégorie de Fukaya topologique d'une surface marquée graduée est un analogue élémentaire de la catégorie de Fukaya partiellement enroulée. Les algèbres aimables apparaissent naturellement dans ce contexte comme anneaux d'endomorphismes de générateurs formels. Des travaux d'Opper, Plamondon et Schroll ont montré que la surface sert également de modèle géométrique pour la catégorie dérivée de l'algèbre aimable. Cela a conduit au développement de nouveaux outils pour l'étude de sa théorie des représentations, notamment par l'établissement d'un invariant dérivé complet.

Dans cet exposé, je présenterai la classe des algèbres aimables contractées et expliquerai comment celles-ci apparaissent comme anneau d'endomorphismes de générateurs formels de quotient $A_{\infty}$ de catégories de Fukaya topologiques. Je montrerai ensuite comment les surfaces marquées graduées avec singularités coniques servent de modèles géométriques pour leurs catégories dérivées, en classifiant les objets indécomposables en termes de courbes graduées.

In this talk, I will present a new result about small-time local controllability near the ground state for a bilinear Schrödinger equation with Neumann boundary conditions, for which the linearized system is not controllable. I will prove that a Lie bracket–type condition ensures that either the nonlinear system exhibits a quadratic obstruction or, remarkably, recovers controllability at the quadratic order. This is a joint work with Karine Beauchard and Frédéric Marbach.