Dans cet exposé, j'expliquerai comment étudier les déformations de surfaces hyperboliques de type fini à bord en utilisant un objet combinatoire appelé le complexe des arcs. Il s'agit d'un complexe simplicial à cliques pur, construit en utilisant les classes d'isotopie des arcs sur la surface. Cette approche a été proposée par Danciger-Guéritaud-Kassel dans « Margulis spacetimes via the arc complex » où ils effectuent des déformations en bandelettes d'une surface convexe cocompacte, le long d'une famille maximale d'arcs disjoints afin d'obtenir des déformations « admissibles » qui allongent uniformément toute géodésique sur la surface.

Nous généralisons ce résultat aux surfaces hyperboliques couronnées dont les pointes sont partiellement décorées par des horoboules. Le but de l'exposé est d'illustrer comment la topologie du complexe d'arcs permet de mieux comprendre les déformations admissibles. Dans la première partie, je me concentrerai sur les surfaces dites petites, dont le complexe d'arcs est fini. Dans la seconde partie, je parlerai des surfaces générales et discuterai de la façon dont on peut obtenir une paramétrisation des espaces-temps de Margulis partiellement décorés.

Au cours de cet exposé, je vais introduire la question suivante et discuter des différentes approches possibles permettant d'y répondre:

Problème d'algébricité sur Q: (Parusi\'nski, 2021) Tout ensemble algébrique de $R^n$ est-il homéomorphe à un ensemble Q-algébrique de $R^m$ avec $m \geq n$?

Je vais donner une réponse positive dans le cas des ensembles algébriques réels nonsinguliers et compacts, en démontrant une version sur Q du célèbre théorème de Nash-Tognoli. Si le temps le permet, je discuterai également comment une version relative de ce théorème permet aussi d'aborder le problème d'algébricité sur Q dans le cas singulier, en donnant une réponse positive dans le cas à singularités isolées.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Riccardo Ghiloni.

It remains an open question whether nontrivial linear dependences exist among Seifert fibered spheres in the homology cobordism group. In this talk, we consider an infinite family of homology spheres that form the trivial local equivalence class in involutive Heegaard Floer theory, thereby potentially yielding nontrivial dependences between Seifert fibered spheres in the homology cobordism group. We then focus on a survey of filtered instanton Floer theory. Finally, as an application, we prove that these candidates are linearly independent. In particular, we compare the invariants from the two theories: involutive Heegaard Floer theory and filtered instanton Floer theory. If time permits, we also compare them with Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer theory. This is joint work with Jaewon Lee (KAIST, Korea).

En s'appuyant sur les travaux de Garg, Gurvits, Oliveira et Wigderson, on démontre que les données géométriques de Brascamp-Lieb sont, dans un certain sens, omniprésentes au sein des données admissibles. Cela répond à une question soulevée par Bennett et Tao dans leurs travaux récents sur l'inégalité adjointe de Brascamp-Lieb.