One of the most studied problems in Differential Geometry is the existence of Riemannian metrics with constant scalar curvature. In the 1980s, the celebrated solution of the Yamabe problem by Trudinger, Aubin, and Schoen established that on a closed manifold one can always find a constant scalar curvature metric, in each conformal class of Riemannian metrics. In the context of Kähler geometry however the problem is still largely open. In this talk, I will present some progress in an ongoing project with Abdellah Lahdili (Université du Québec à Montréal) and Eveline Legendre (Université Lyon 1), in which we propose an approach to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics that uses tools that first appeared in the solution of the CR-Yamabe problem, most notably a version of the Einstein-Hilbert functional. Time permitting, I will explain how our methods can be used to recover a well-know algebraic obstruction to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics.

Le principe fondamental de la topologie algébrique est d'associer des objets algébriques à des objets de nature géométrique ou topologique. Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler rapidement la complexité croissante de ces objets algébriques : des nombres, des groupes, des algèbres associatives, puis différents types d'algèbres de plus en plus complexes. Les opérades sont un outil pour mieux comprendre ces algèbres, et mieux les étudier. Par exemple, la construction bar des opérades et la dualité de Koszul permettent de retrouver les complexes d'homologie (Hochschild, Chevalley-Eilenberg, etc) et des constructions similaires dans des contextes plus modernes. Ceux-ci font souvent intervenir des infini-catégories ou des algèbres à homotopie près.
Le but final de l'exposé est de présenter la définition des infini-opérades et de leurs algèbres, et de définir des constructions bar associées.

Ceci est un travail en commun avec Ieke Moerdijk.

We consider the simple random walk on the Euclidean lattice in transient dimensions. It is known that the number of distinct visited sites is asymptotically linear in time. The probability of visiting a smaller number of sites, with a difference of the order of the mean, was evaluated asymptotically by Phetpradap in 2010, taking up the seminal work of van den Berg, Bolthausen and den Hollander in 2001 concerning the volume of a Wiener sausage. We consider the random walk conditioned to such a rare event and prove that the occupation measure of a certain random walk skeleton converges to a unique optimal profile modulo space shift, provided the deviation from the mean is large enough if dimension is four or higher. Our proof of this so-called tube property relies on the recent compactification of the space of measures introduced by Mukherjee and Varadhan, and it is a first step in the rigourous proof of the Swiss cheese picture proposed by van den Berg, Bolthausen and den Hollander. This is joint work with Dirk Erhard (Salvador de Bahia, Brazil).

References :
M. van den Berg, E. Bolthausen and F. den Hollander, Moderate deviations for the volume of the Wiener sausage, Ann. of Math. (2) 153 (2001), no.~2, 355--406; MR1829754
C. Mukherjee and S. R. S. Varadhan, Brownian occupation measures, compactness and large deviations, Ann. Probab. 44 (2016), no.~6, 3934--3964; MR3572328

In this presentation, we study various continuous finite element discretization
for one and two dimensional hyperbolic partial differential equations,
varying the polynomial space: Lagrangian on equispaced, Lagrangian
on quadrature points (Cubature) and Bernstein; the stabilization techniques:
streamline-upwind Petrov–Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale
stabilization; and the time discretization: Runge–Kutta (RK), strong stability
preserving RK and deferred correction (DeC). The last one allows to alleviate
the computational cost as the mass matrix inversion is replaced by the high
order correction iterations.
To understand the effects of these different combinations, we propose both timecontinuous
and fully discrete Fourier analysis. These allow to compare all of
them in terms of accuracy and stability, as well as to provide suggestions for
optimal values discretization parameters involved. The results are thoroughly
verified numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU
time curves are provided.
Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities,
in order to show how to use these methods for tests of practical
interest.

L'exposé portera sur des travaux en collaboration avec Simon Jubert, sur les invariants beta et delta analytique à poids. Il s'agit pour delta de la meilleure constante de coercivité pour l'entropie pondérée, dans le cadre de l'approche variationnelle à l'existence de métriques à courbure scalaire pondérée constante. Pour beta, il s'agit de la plus grande borne inférieure sur la courbure de Ricci pondérée. Je présenterai le lien entre les deux ainsi que des applications à l'existence de métriques Kählériennes canoniques via une version "réduite" de l'invariant delta analytique à poids.

Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Bergman Kähler-Einstein est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve repose sur l'asymptotique des dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques s'approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail en collaboration avec M. Xiao.

[French]

Après avoir introduit les noeuds legendriens, nous discuterons de quelques liens avec leur pendant symplectique, les sous-variétés lagrangiennes. Cela nous permettra d'introduire une relation entre les noeuds legendriens qui descend à leurs classes d'isotopies. Nous nous intéresserons plus particulièrement à des résultats qui lient la topologie d'un remplissage lagrangien exact au type d'isotopie legendrienne du noeud.

[English]

In this talk, we'll first introduce legendrian knots together with connections with their symplectic counterpart, lagrangian submanifolds. We'll then discuss how those connections allow to define a relation between legendrian knots that descends to their isotopy classes. Finally, we'll focus on results that link the topology of an exact lagrangian filling of a legendrian knot and the isotopy type of this knot.