Des cristaux à la forme de notre univers, en passant par les structures du vivant, des questions de symétries se posent à toutes les échelles d'organisation de la matière, mathématiquement souvent en termes d'isométries ou de théorie des groupes. La statistique directionnelle est justement l'étude des données provenant d'objets "naturels" autres que la droite réelle, comme les sphères et les graphes, les groupes de Lie, où un simple calcul de moyenne requiert l'utilisation de technique et fonctions "spéciales".

Qu'est-ce qu'une fonction spéciale ? Les premières sont les sept familles de polynômes orthogonaux classiques, continus ou discrets. Le point de vue initié par E. Cartan, développé par N. Ya. Vilenkin, relie des fonctions spéciales plus générales à la théorie de la représentation des groupes, outil né des questions de symétrie, donc doublement adapté a ce domaine de la statistique directionnelle qui nous intéresse.

Notre outil principal est fourni par les développements de Karhunen-Loève, qui, faisant intervenir des fonctions spéciales et des noyaux de covariance, sont à l'intersection des statistiques (composantes principales, distributions asymptotiques), probabilités (espaces gaussiens, à noyau auto-reproduisant) et de l'analyse (Théorème de Mercer).

Nous tenterons d'illustrer ces questions à travers nos publications des six dernières années : par des problèmes aussi concrets que les vides de l'univers (collaboration avec E. Russel), la stratégie de course au Marathon (collaboration avec V. Billat), puis les tests d'adéquations sur des variétés ou graphes 2-point homogènes, et enfin le problème plus abstrait d'une identité de duplication de G. Watson sur le cercle (étudiée par M. Yor et Z. Shi), dont nous esquissons une généralisation, objet de nos travaux actuels.
Un problème concernant la loi des grands nombres, posé par D. Pierre-Loti-Viaud, sera évoqué.

Les trajectoires géodésique sur une variété Riemannienne à courbure strictement négative sont très chaotiques: elles ont la propriété de mélange qui est que toute mesure de probabilité lisse sur l’espace des phases transportée par la dynamique évolue (au sens faible) vers la mesure uniforme de Liouville, appelée équilibre. On s’intéressera aux fluctuations autour de cet équilibre, i.e. aux termes suivant dans une expansion asymptotique en temps longs. On expliquera que ces fluctuations sont gouvernées par l’équation des ondes. Cette propriété un peu surprenante est déjà sous-jacente à la théorie de Selberg (formule des traces) qui relie les trajectoires périodiques aux spectre du Laplacien sur les surfaces hyperboliques. Les techniques et mécanismes sont l’analyse micro-locale, les espaces de Sobolev anisotropes et les spineurs symplectiques. Collaboration avec Masato Tsujii.

Je discuterai d'un travail en collaboration avec Yann Chaubet et Daniel Han-Kwan. Nous nous sommes intéressés à la dynamique en temps long de l'équation de Vlasov non-linéaire sur une variété à courbure négative lorsque le noyau d'interaction est lisse. J'expliquerai que, pour des petites données initiales lisses et supportées loin de la section nulle, les solutions de cette équation convergent à vitesse exponentielle vers un état d'équilibre du problème linéaire.

Lagrangian submanifolds exhibit surprising rigidity in view of their small dimension (only half that of the ambient symplectic manifold). A famous manifestation of this rigidity is that some of them cannot be displaced from themselves by any Hamiltonian diffeomorphism or even by any diffeomorphism which preserves the symplectic form. In comparison, any submanifold of the same dimension which is not Lagrangian can be displaced from itself by a Hamiltonian diffeomorphism.

Moreover, that diffeomorphism can be chosen arbitrarily C⁰-small, so that one can wonder whether a Lagrangian L (which can be displaced from itself) admits a neighborhood of Hamiltonian (resp. symplectic) non-displacement. Such a neighborhood W is defined by the property that any Lagrangian obtained from L by a Hamiltonian (resp. symplectic) diffeomorphism, and included in W, must intersect L.

On the one hand, I will give conditions which ensure the existence of such neighborhoods for a large class of Lagrangians. On the other hand, I will construct a Lagrangian which does not admit any, in any symplectic manifold of dimension at least 6. Then, I will discuss several applications of our techniques to the topology of orbits of Lagrangians. This is based on a joint work with Marcelo Attalah, Jean-Philippe Chassé, and Egor Shelukhin.

In the late '90s, Eliashberg and Thurston established a remarkable connection between foliations and contact structures in dimension three: any co-oriented, aspherical foliation on a closed, oriented 3-manifold can be approximated by both positive and negative contact structures. Additionally, if the foliation is taut then its contact approximations are tight. In this talk, I will present a converse result on constructing taut foliations from suitable pairs of contact structures. While taut foliations are rather rigid objects, this viewpoint reveals some degree of flexibility and offers a new perspective on the L-space conjecture. A key ingredient is a generalization of a result of Burago and Ivanov on the construction of branching foliations tangent to continuous plane fields, which might be of independent interest.