L’objectif de cet exposé est l’étude d’une équation de diffusion non linéaire fractionnaire posée sur un domaine bornée. Cette équation constitue une variante de l’équation des milieux poreux ou de l’équation de diffusion rapide, dans laquelle le laplacien est remplacé par un laplacien fractionnaire. Dans le cas des milieux poreux, les solutions présentent une décroissance à vitesse algébrique, tandis que dans le cas de la diffusion rapide, elles présentent un phénomène d’extinction en temps fini: à partir d’un certain temps elles sont uniformément nulles. Par ailleurs, les solutions convergent vers les solutions à variables séparées, lorsque le temps tend vers l’infini dans le cas des milieux poreux, ou lorsqu’il tend vers le temps d’extinction dans le cas de la diffusion rapide. Nous introduirons ensuite un schéma numérique qui préserve ces propriétés qualitatives. Ce schéma permettra de déterminer numériquement le temps d’extinction ainsi que le taux de convergence vers les solutions à variables séparées.

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à l'équation de Schrödinger semi-classique, une équation fondamentale de la mécanique quantique, qui décrit l'évolution temporelle des particules quantiques. Comme les solutions exactes de cette équation sont rarement explicites et que les méthodes numériques classiques se révèlent souvent trop coûteuses, notre objectif est de développer des stratégies alternatives, à la fois plus faciles à mettre en œuvre et suffisamment précises, pour approcher les solutions de l'équation considérée. Pour cela, nous étudierons des fonctions particulières, appelées paquets d'ondes, qui représentent des états quantiques localisés et qui sont caractérisées par plusieurs paramètres. Dans un premier temps, nous montrerons comment, à partir d'une donnée initiale définie par un paquet d'onde, il est possible de construire une bonne solution approchée pour l'équation de Schrödinger semi-classique scalaire. Dans un second temps, nous expliquerons comment cette approche peut être généralisée à des équations plus complexes, à valeurs vectorielles, où de nouveaux phénomènes apparaissent.

Let $(M,g,X)$ be a complete gradient Kähler–Ricci expander with quadratic curvature decay (including all derivatives). Its geometry at infinity is modeled by a unique asymptotic cone, which takes the form of a Kähler cone $(C0,g0)$. In this talk, we will show that if there exists a solution to the Kähler–Ricci flow on $M$ that desingularizes this cone, then it necessarily coincides with the self-similar solution determined by the soliton metric $g$. Furthermore, if one perturbs the soliton metric in a suitable manner, the resulting initial data generates an immortal solution to the Kähler–Ricci flow which, after appropriate rescaling, converges to an asymptotically conical gradient Kähler–Ricci expander.

Dans cet exposé, je discuterai la preuve du résultat suivant, obtenu en collaboration avec Lahdili et Legendre : si X est une variété de Fano lisse qui porte un soliton de Kähler-Ricci, alors le cône canonique du produit de X avec l'espace projectif complexe de dimension suffisamment grande admet une métrique conique de Calabi-Yau. Cela peut être considéré comme une version asymptotique d'une conjecture de Mabuchi et Nikagawa. Le résultat est obtenu en utilisant l'ouverture (au sens C^0) de l'ensemble des fonctions de poids positifs v(x) définies sur un certain polytope associé à une variété de Fano lisse, pour laquelle existe un « v-soliton ». Si le temps le permet, je discuterai d'autres ramifications de cette approche.

Certaines EDP géométriques comme l'équation hermitienne de Yang-Mills admettent une interprétation en terme d'application moment, ce qui permet (entre autres) de les étudier d'un point de vue perturbatif. L'idée est la suivante : on part d'une solution connue de cette équation et on en perturbe les paramètres, sous quelles conditions existe-t-il toujours une solution ? Lorsqu'elle existe, comment évolue-t-elle en fonction des paramètres modifiés ? Cet exposé présentera les résultats d'existence et de continuité obtenus ainsi qu'une idée des méthodes utilisées.

Un problème classique en géométrie algébrique est celui de la construction de fibrés indécomposables de petit rang sur l'espace projectif. Jusqu'à présent, en rang 2, il existe essentiellement une unique construction d'un tel fibré sur CP^4, et aucune en dimension supérieure. Hartshorne a conjecturé qu'aucun tel fibré ne devrait exister à partir de la dimension 7. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche à cette conjecture reposant sur la construction de faisceaux toriques stables à classes de Chern prescrites.

Let (M,g) be a closed negatively curved manifold. We introduce a new invariant, the Marked Poincaré determinant (MPD) which associates to each free homotopy class of closed curves in M a number which measures the unstable volume expansion of the geodesic flow along the associated closed geodesic. This invariant can be seen as a weighted version (by a function called the unstable Jacobian) of a well-known invariant of (M,g): the marked length spectrum. We prove a local MPD rigidity result in dimension 3: if g is sufficiently close to a hyperbolic metric g0 and both metrics have the same MPD, then they are homothetic (i.e. isometric up to rescalling).The proof relies on a geometric fact of independent interest, namely, we show the Lichnerowicz Laplacian of g0 is injective on the space of trace-free divergence-free symmetric 2-tensors, which, to our knowledge, is the first result of its kind in negative curvature.

This is joint work with Karen Butt, Alena Erchenko, Thibault Lefeuvre and Amie Wilkinson.

The finite volume method is a discretization method for solving partial differential equations (PDE) where the degrees of freedom approximate the average of the PDE solution over control volumes. In this talk, we will apply this method to the Euler equations, a system of non-linear hyperbolic PDEs governing the dynamics of a compressible, adiabatic and inviscid fluid. Particular attention will be paid to the robustness and stability of the approximation and to ensure, at the discrete level, some fundamental physical principles (e.g., conservation, positivity of some quantities, second law of thermodynamics).