Les tenseurs sont des objets qui apparaissent naturellement dans de nombreux domaines scientifiques, notamment en physique. Ils sont également un outil puissant pour la résolution numérique de problèmes en grande dimension, où il s'agit souvent d'approximer des fonctions de plusieurs variables. En exploitant la structure de ces tenseurs, il est possible de concevoir des méthodes numériques efficaces, même dans des contextes de très haute dimension.

Dans ce séminaire, nous introduirons d'abord la notion de tenseur, suivie d'une présentation des principales décompositions de tenseurs de faible rang. Nous aborderons notamment la décomposition canonique (CP), la décomposition de Tucker, la décomposition Tensor-Train, ainsi que, de manière plus générale, la décomposition hiérarchique.

Des modèles algébriques pour les types d'homotopie rationnels ont été proposés par Quillen en 1969 puis Sullivan en 1977. Le modèle de Quillen, utilisant les algèbres de Lie, permet de décrire les types d'homotopie rationnels simplement connexes, tandis que le modèle de Sullivan, utilisant les algèbres commutatives, décrit les types d’homotopie finis et nilpotents. Plus récemment, Buijs, Félix, Murillo et Tanré d’une part et Robert-Nicoud et Vallette d’autre part, ont étendu le modèle de Quillen au cas non-simplement connexe. Dans cet exposé, on présentera une théorie des invariants de Postnikov pour les algèbres de Lie qui est compatible avec le foncteur d’intégration de Robert-Nicoud et Vallette. On en déduira une intégration de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg en la cohomologie d’espaces à coefficients locaux. Si le temps le permet, on exposera la motivation initiale pour construire une telle théorie des invariants de Postnikov, à savoir, une conjecture proposée par Félix et Tanré, qui relie les modèles en homotopie rationnelle et le modèle de Loday pour les n-types d’homotopie, i.e. les Cat^n-groupes. Si le temps le permet également, nous tenterons d’expliquer en quoi une théorie des invariants de Postnikov peut permettre d’axiomatiser les foncteurs d’intégrations.

The inverse spectral problem asks to what extent one can recover the geometry of a manifold from knowledge of either its Laplace spectrum or dynamical counterparts, e.g., the (marked) length spectrum. While counterexamples do exist in general, there are certain symmetry and nondegeneracy conditions under which spectral uniqueness holds. Perhaps the most tantalizing unsolved case is that of strictly convex planar domains, known as Birkhoff billiard tables. It turns out that there is a deep relationship between the Laplace and length spectra, which is encoded in the Poisson relation. In this talk, I will describe my work on both Laplace and length spectral invariants as well as limitations in using the Poisson relation for inverse problems.

Nous définissons le crochet de Schouten–Nijenhuis sur l’algèbre des différentielles de Kähler et étudions sa structure algébrique. En nous appuyant sur la propriété universelle des dérivations, nous construisons un cadre permettant de décrire les variétés de Poisson. Dans ce contexte, nous établissons l’équivalence entre une structure d’algèbre de Lie–Rinehart et une structure de Poisson, ce qui nous permet de retrouver la notion classique de variété de Poisson introduite par Lichnerowicz. Par ailleurs, nous montrons qu’une structure d’algèbre de Lie–Rinehart symplectique induit une structure de Poisson non dégénérée, et réciproquement, qu’une structure de Poisson non dégénérée donne lieu à une algèbre de Lie–Rinehart symplectique.

On voudrait comprendre la géométrie d'un espace à partir de sa géométrie infinitésimale. Pour cela je commencerai par esquisser et motiver la notion de convergence au sens de Gromov-Hausdorff. Je donnerai ensuite des exemples d'espaces singuliers et d'expliquer comment ces exemples sont des limites d'objets " réguliers". La géométrie infinitésimale est celle que l'on obtient en zoomant autour d'un point et passant à la limite et la dernière partie de l'exposé sera consacrée aux outils permettant de décrire la géométrie à partir de la géométrie infinitésimale.

Apparue au 19ème siècle avec notamment les travaux de W. Hamilton, la géométrie symplectique a pris un rôle prépondérant dans la description mathématique de la mécanique moderne.
Le but de cet exposé est d'en expliquer quelques notions fondamentales, en exploitant plusieurs exemples issus de divers domaines de la physique, tels que l'optique géométrique, la mécanique analytique ou encore la thermodynamique.
On verra aussi en quoi la géométrie symplectique donne un cadre adapté à l'étude des liens entre symétries, invariants et intégrabilité d'un système, dans la continuité des théorèmes de E. Noether et J. Liouville.

It is nowadays trendy to count not any more with positive integers (as complex people do) nor with integers (as real people do), but with quadratic forms. This talk will address the problem of enumerating rational curves in algebraic surfaces from this quadratic point of view. I will give a conjectural expression of these geometric quadratic invariants only in terms of Gromov-Witten and Welschinger invariants. In other words quadratic invariants over any field should be determined by the two special fields C and R.
This is a joint work with Johannes Rau and Kirsten Wickelgren.