The hairy ball theorem states that on a 2-dimensional sphere, any continuous tangent vector field must vanish at least once. In dimension one, it is easy to create a tangent vector field on the circle that does not vanish. It is less easy, however, to find, on a three-dimensional sphere, not one but three continuous tangent vector fields that do not vanish and are even linearly independent. I propose to explore these results and their generalizations in higher dimensions.

Après une introduction historique, j'expliquerai comment tirer une surface hyperbolique aléatoire de genre g. On se penchera ensuite sur le spectre des longueurs. Plus précisément, on regardera les géodésiques fermées courtes sur une surface hyperbolique aléatoire de genre g. Il se trouve que, lorsque g est grand, les longueurs de ces géodésiques se distribuent exactement de la même manière que les longueurs des cycles courts dans un graphe (en rubans) aléatoire de très grande taille. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Barazer et Alessandro Giacchetto.

Les équations cinétiques modélisent l'évolution de systèmes de particules hors équilibre thermodynamique (exemple : gaz, plasma). Contrairement aux modèles fluides, elles sont posées dans l'espace des phases et font intervenir la variable vitesse.

Dans un premier temps, on exposera leur structure commune et leur caractéristiques générales. On montrera le théorème H de Boltzmann, qui stipule que l'entropie décroit jusqu'à ce que l'équilibre thermodynamique soit atteint (pour un système isolé).

Dans un second temps, on considerera des équations cinétiques linéarisées autour de l'état d'équilibre. On exposera une technique d'hypocoercivité permettant de montrer une version quantitative du théorème H.

Dans cette présentation je présenterai des résultats récents sur la dynamique en temps long de l’équation de Schrödinger magnétique sur le tore plat en dimension 2. Bien que la dynamique classique associée soit complètement intégrable, la présence du champ magnétique produit un effet de régularisation et d’équidistribution. Plus précisément, sur des échelles de temps suffisamment grandes, les états quantiques se répartissent uniformément en position, puis, à des temps encore plus longs, uniformément le long des courbes d’énergie en variable d’impulsion. Ces résultats mettent en évidence une forme dynamique d’unique ergodicité quantique dans une situation où aucun phénomène chaotique n’est disponible.

De nombreux jeux de données peuvent être modélisés comme des réalisations aléatoires de mesures de probabilité, par exemple sous forme d’histogrammes ou de nuages de points. Dans ce contexte, les distances de Wasserstein issues du transport optimal offrent un cadre particulièrement naturel pour comparer et analyser des distributions de probabilité. Dans cet exposé, nous proposons une synthèse de travaux récents à l’interface entre statistiques, transport optimal et science des données. Nous illustrerons ces idées à travers plusieurs applications. Nous mettrons notamment en évidence l’intérêt des notions de barycentre de Wasserstein et d’analyse en composantes principales géodésiques dans l’espace de Wasserstein pour apprendre les principaux modes de variation géométrique d’un ensemble de distributions. Nous discuterons également de travaux récents en statistique consacrés à la définition de quantiles multivariés pour des vecteurs aléatoires, qui généralisent la notion classique de quantile pour des mesures de probabilité à support sur la droite réelle. Enfin, nous évoquerons des liens récents entre transport optimal et apprentissage statistique, notamment via l’étude de flots de gradient dans l’espace de Wasserstein, qui fournissent un cadre analytique pour comprendre certaines dynamiques d’apprentissage et les performances de réseaux de neurones à deux couches.

En géométrie différentielle, il existe une classe de problèmes qu'on peut décrire ainsi: on veut comprendre le type d'homotopie de l'espace des sections d'un fibrés (on pourra penser à des fonctions entre variétés) qui vérifient une certaine relation différentielle. C'est à dire, étant donné deux de ces sections, on veut savoir s'il existe une homotopie entre elles qui en tout temps vérifie la relation différentielle. Nombre de ces problèmes ont été formulés et démontrés au milieu du siècle dernier. On peut citer pêle-mêle le problème du retournement de la sphère par famille d'immersions dans R^3, montré par Smale en 1958, ainsi que la classification des immersions du cercle dans R^2, démontré par Whitney en 1937. Dans un premier temps, on remarque qu'il peut exister des obstructions topologiques à l'existence d'une telle homotopie. Dans un second temps, on se rend compte que si cette obstruction disparaît, on peut souvent fabriquer une homotopie un peu tordue (c'est le cas de le dire) et on dit alors que le problème vérifie un h-principe. Dans cet exposé, on se propose de parler de l'approximation holonome et de son lien avec le h-principe. On aura l'occasion de voir en images et en exemples quelques applications et jolis thèmes dans ce domaine.