Equipé de la topologie de Chabauty, l'espace des sous-groupes d'un groupe dénombrable G est un fermé du Cantor, muni d'une action par homéomorphismes donnée par la conjugaison. On s'intéresse à la dynamique induite par cette action sur des sous-espaces fermés invariant. Le plus gros sous-espace fermé sans point isolé est un exemple de tel espace, appelé noyau parfait de G. Dans un contexte acylindrique, Hull, Minasyan et Osin ont démontré des propriétés de mélange fort (µ-mélange topologique, un renforcement de la haute transitivité topologique). On met en évidence une situation radicalement différente dans le cas des groupes de Baumslag-Solitar non-unimodulaires. Pour la décomposition du noyau parfait introduite par Carderi, Gaboriau, Le Maître et Stalder (qui ont montré la haute transitivité topologique sur chaque pièce), on montre que l'action par conjugaison n'est µ-mélangeante sur aucune pièce sauf une pour un continuum de mesures µ. Pour les Baumslag-Solitar unimodulaires en revanche, on montre que l'action par conjugaison est µ-mélangeante sur toutes les pièce de la partition.

Les mouvements collectifs auto-organisés émergent dans la nature sous forme de nuées d'oiseaux ou de bancs de poissons par exemple. Pour les modéliser, on peut utiliser une approche microscopique, comme le modèle de Vicsek. Or, pour de larges populations, cette approche est très coûteuse à simuler. Pour palier à cela, nous étudierons ici la limite macroscopique du modèle de Vicsek, nommé modèle SOH. Ce modèle est hyperbolique et non-conservatif, ce qui pose problème pour la résolution du problème de Riemann, analytiquement et numériquement. Dans cet exposé, nous commencerons par étudier la structure hyperbolique du système SOH et sur les ondes de détente. Nous définirons ensuite les ondes de chocs grâce au modèle visqueux associé au modèle SOH. De plus, nous dériverons un schéma type Godunov pour le modèle SOH. Comme ce schéma ne converge pas vers la bonne solution, une correction visqueuse est ajoutée afin de récupérer numériquement les solutions ondes de chocs. Enfin, le schéma est testé sur des cas tests afin d'en confirmer la pertinence.

Les coefficients dans le développement en série entière de 1/(1-t)^n correspondent aux dimensions des espaces de polynômes homogènes en n variables. Ce phénomène combinatoire reflète la dualité de Koszul entre l'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) engendrées par un espace vectoriel V de dimension n.

Cette dualité, est à la base d'un complexe appelé résolution de Koszul par Priddy à la fin des années 60'. Le cas de l'algèbre symétrique permet de calculer la résolution de Koszul de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie, correspondant alors au complexe de Chevalley-Eilenberg.

On peut faire remonter un problème classique - et complètement ouvert - de physique mathématique a Fourier : il s’agit de la dérivation rigoureuse de l’équation de la chaleur dans les solides. Le modèle le plus simple a considérer est une chaîne d’oscillateurs : il s’agit de particules alignées qui interagissent chacune avec leurs voisines (les exemples les plus connus étant les équations de Fermi-Pasta-Ulam (FPU) et Toda). Pour dériver une équation de type chaleur (diffusion) on prend des limites singulières, dites cinétique et hydrodynamique. J’essaierai de donner une vision d’ensemble du sujet !