Inference of the tail parameters of a distribution is a question of interest. Indeed, extreme events can have disastrous consequences and being able to estimate their probability of appearance allows us to manage them to an extent. It is however a difficult question because usual statistical theory do not work well in that case. Extreme value theory has been developed for this purpose. In particular, the Conditional Tail Moments (CTMs) are useful tools in risk quantification. For instance, the Expected Shortfall (ES), a particular case of CTM, is a risk measure widely used in finance. The estimation of CTMs and the proofs of convergence results for these estimators have been the purpose of my first year of PhD. In this talk, I will start with an introduction and motivation to Extreme Value Theory. I will then define the Conditional Tail Moment and give the mathematical framework in which estimation of extreme CTM is feasible. Finally, I would like to present some of the convergence results that I have been able to show so far.

L’inoculation de la petite vérole (ou variole) – étape préliminaire vers la vaccination découverte à la fin du 18e siècle par Jenner – fut pratiquée dès le début du siècle des Lumières en Angleterre et popularisée en 1734 par Voltaire dans ses Lettres philosophiques. Rejetée par les médecins et les théologiens, la pratique tomba dans l’oubli pendant plusieurs décennies avant d’être vigoureusement défendue par le docteur Tronchin dans l’Encyclopédie, puis par La Condamine et Daniel Bernoulli à l’Académie des sciences. Ces derniers étaient les premiers à s’appuyer sur le calcul des probabilités pour en démontrer l’intérêt, mais Bernoulli fut attaqué par D’Alembert qui, contestant que les mathématiques puissent décider du choix de l’inoculation, opposait une vision plutôt individualiste à la perspective sociale et de santé publique de Bernoulli. L’attitude prudente de D’Alembert fut sévèrement jugée par Diderot qui, en conflit larvé avec son ancien ami, dévoila sa position dans un pamphlet non publié de 1761 dans lequel il critiquait l’approche mathématique de D’Alembert. La vertu d’un bon citoyen, estimait-il, consiste à préférer le bien du plus grand nombre à son bien particulier. Le manque de sens politique de d’Alembert se marque dans son incapacité à se placer du point de vue de l’intérêt politique.